Глава V электромагнитные волны

§ 5.1. Волновое уравнение

В пустом пространстве, т.е. без зарядов и токов электромагнитное поле удовлетворяет уравнению Максвелла:

где , т.к. токи и заряды отсутствуют. Это уравнение движения, вторая пара уравнений Максвелла.

Уравнение (5.1.1) имеет отличное от нуля решение.

Поля, которые существуют сами по себе, называются электромагнитными волнами. Эти поля переменны во времени. Для нахождения уравнения для потенциалов электромагнитного поля подставим в явном виде тензор электромагнитного поля в уравнение (5.1.1).

Это выражение можно упростить, если наложить на потенциалы условие Лоренца: . Тогда уравнение (5.1.2) примет вид:

где □ – оператор Даламбера:

Уравнение – волновое уравнение. Кроме калибровки Лоренца также можно использовать кулоновскую калибровку, которая имеет вид:

В этом случае

Если расписать все четыре уравнения, то они будут иметь следующий вид:

для векторного потенциала при μ=1,2,3:

для скалярного потенциала при μ=0:

Таким образом, получили

Таким образом, решение уравнения Пуассона:

В случае, точечного заряда решение в виде: - кулоновский потенциал. В этом случае . Кулоновский потенциал – статическое поле, а электромагнитные волны переменные во времени. Следовательно, это решение не имеет никакого отношения к электромагнитным волнам. Положим . Тогда волновое уравнение в кулоновской калибровке будет иметь вид:

Теперь найдем волновые уравнения для напряженностей электрических и магнитных полей:

Если подействовать вектором в векторном произведении на волновое уравнение, то получим:

Таким образом, все уравнения для полевых величин имеют одинаковый вид. Т.е. если , то волновое уравнение имеет вид: .

§ 5.2. Плоские электромагнитные волны

Если полевые величины зависят от одной координаты и времени, то такие электромагнитные волны называются плоскими. В этом случае фронт такой волны является плоским.

Рассмотрим волновое уравнение для плоских электромагнитных волн в кулоновской калибровке, оно имеет вид:

Это уравнение можно переписать в следующем виде (для того, чтобы найти его решение):

Для нахождения решения уравнения (5.2.2) введем новые переменные – переменные светового конуса:

Обратные соотношения выглядят следующим образом:

Запишем наше волновое уравнение в переменных светового конуса, для этого необходимо установить связь производных:

следовательно,

Перемножая (5.2.7) и (5.2.8), получим, что

Найдем решение этого уравнения, проинтегрируем (5.2.9) по , тогда

Проинтегрировав выражение (5.2.10), получим:

где – первообразная от . Решением однородного волнового уравнения является сумма двух произвольных функций от одной из переменных светового конуса. Выясним смысл этих произвольных функций. С этой целью зафиксируем момент времени t=const. Тогда получим волну. Если наоборот, зафиксировать координату x=const, то в этой точке будут колебания поля. А если зафиксируем , то для этой переменной функция , т.е. поле остается постоянным. Точка – точка, которая распространяется со скоростью света в положительном направлении оси X ( – фаза).

Т.е. точка с постоянной фазой распространяется слева направо с одинаковой скоростью – скоростью света. Если зафиксировать , то точка будет двигаться в сторону, противоположную направлению оси X.

Замечание: Фазовая скорость может быть больше скорости света.

фронт волны

Пусть волна падает под углом α (см. рис.). По оси Х скорость

с Х больше скорости света:

Фазовая скорость не является скоростью движения, связанной с материальным объектом.

Найдем напряженности электромагнитных полей в плоской волне.

Для одной координаты и времени эти соотношения запишутся следующим образом:

откуда видно, что

Это ограничение, вследствие которого волновое уравнение для х-компоненты векторного потенциала (5.2.1) примет вид:

Напряженность электрического поля в этом случае выглядит так:

и, следовательно,

Таким образом, получаем, что – постоянная во времени величина. А т.к. это произвольная постоянная, то положим =0, т.к. напряженности полей электромагнитных волн обязательно должны зависеть от времени. Следовательно, у электромагнитных волн нет продольной составляющей.

В терминах светового конуса остальные компоненты напряженности электрического поля в электромагнитной волне запишутся следующим образом:

Тогда

Теперь найдем вектор напряженности магнитного поля. Для этого с учетом того, что запишем векторное произведение и :

Перейдя к переменным светового конуса, можно записать компоненты вектора напряженности магнитного поля:

Скалярное произведение напряженностей электромагнитного поля равно нулю.

Выражение (5.2.22) – условие ортогональности . Существует еще условие поперечности:

где – единичный вектор, направленный вдоль распространения волны ( ).

следовательно,

Векторы направлены по правилу буравчика, как показано на рис.

В связи с этим оба инварианта электромагнитного поля лоской

волны обращаются в 0.

Запишем инварианты для напряженностей электромагнитных полей:

т.к. .

Найдем количество энергии, переносимое плоской волной в единицу времени через единицу площади, она определяется вектором Пойнтинга:

Плотность энергии электромагнитного поля равна:

Следовательно, вектор Пойнтинга (5.2.26) запишется следующим образом:

Откуда следует, что энергия волны распространяется со скоростью света вдоль направления распространения волны, перпендикулярно фронту.