§ 4.4. Системы зарядов в постоянном и неоднородном внешнем электрическом поле
Рассмотрим систему зарядов, находящихся во внешнем электрическом поле. Будем считать, что линии напряженности вектора электрического поля достаточно гладкие, т.е. поле меняется плавно от точки к точке. Внешнее электростатическое поле определяется уравнениями:
Энергия системы зарядов в этом случае определяется выражением:
где
– потенциал внешнего поля в точке с
радиус-вектором
.
При этом пренебрегаем энергией
взаимодействия самих зарядов. Т.к.
внешнее поле плавно меняется в области
где находятся заряды, то потенциал
можно разложить в ряд Тейлора по малым
.
где
Тогда потенциальная энергия системы запишется следующим образом:
Рассмотрим два случая.
В нулевом приближении потенциальная энергия системы
Формально совпадает с потенциальной энергией точечного заряда (суммы всех зарядов системы), который находится в начале координат.
2. В первом приближении получаем потенциальную энергию электрического диполя, находящегося в начале координат:
т.к.
.
Если система в целом нейтральна, то этот член будет главным, а для нейтральной системы электрический дипольный момент не зависит от выбора начала координат.
Теперь рассмотрим некоторые примеры взаимодействий с учетом того, что внешнее поле создается другой системой зарядов.
а) Взаимодействие точечного диполя в поле, создаваемым одним зарядом, находящимся в начале координат.
Тогда энергия дипольного момента в кулоновском поле заряда согласно (4.3.18) и (4.4.7) имеет вид:
|
Точно такой же результат получится, если диполь находится в начале координат, а заряд в точке взаимодействия.
|
б) Взаимодействие точечного диполя с электрическим полем другого диполя.
Пусть в начале координат находится
дипольный момент
,
который создает внешнее поле, а
– другой дипольный момент.
n
|
Напряженность электрического поля в точке 2 согласно (4.3.19) равна:
Тогда потенциальная энергия взаимодействия диполей будет выглядеть следующим образом:
|
в) Сила, действующая на нейтральную систему с постоянным электрическим дипольным моментом (ЭДМ) со стороны неоднородного внешнего электрического поля.
Согласно общим правилам ньютоновской механики, сила есть
Если подставить сюда потенциальную энергию электрического диполя, то (4.4.12) примет вид:
Т.к. дипольный момент является постоянной величиной, то оператор набла действует только на вектор напряженности электрического поля:
Где согласно (3.1.7)
но магнитное поле отсутствует, следовательно, сила будет равна
г) Момент сил, действующих на нейтральную систему с электрическим дипольным моментом.
Момент сил имеет вид:
В качестве
подставим (4.5.16). Тогда (4.5.17)
преобразуется в
где
В линейном приближении по получим, что момент сил будет равен
Здесь
– напряженность электрического поля
в начале координат. Дипольный момент
не зависит от выбора начала координат,
следовательно,
