§ 4.3. Происхождение электростатических полей
Кулоновское поле.
В этом параграфе мы ответим на вопрос: как возникают электромагнитные поля. Электромагнитные поля создаются зарядами и токами. Стационарные электрические поля удовлетворяют уравнениям:
,
(4.3.1)
где
– плотность распределенных в пространстве
зарядов.
Если заряды точечные, то
и результирующий заряд системы будет равен
В этих уравнениях напряженность электрического поля связана с потенциалом соотношением:
Но для стационарных полей векторный
потенциал
не зависит от времени, поэтому
Отсюда получаем уравнение Пуассона
Именно это уравнение по заданному распределению плотности зарядов позволяет найти потенциал, а затем и электрическое поле; дает ответ на вопрос о происхождении электростатического поля.
Рассмотрим пример, когда существует всего один заряд. Поместим его в начало координат. В этом случае
Тогда
Решением уравнения (4.3.5) является потенциал вида
Тогда, используя формулу (4.3.3), можно найти напряженность электрического поля.
Для доказательства (4.3.6) рассмотрим два случая:
а) когда в рассматриваемой нами области
пространства точечного заряда. Тогда
,
так как (см. 4.1.7)
б) когда поле рассматривается с учетом
самого заряда. Разложим функцию
в трехмерный интеграл Фурье:
r
z
|
где
|
– некоторый постоянный вектор;
– Фурье-образ:
Для вычисления этого интеграла
предположим, что
.
Тогда
Чтобы исключить неопределенность периодических функций на бесконечности, введем число α и определим, что будет на бесконечности.
Учитывая то,
что
,
получим
Таким образом, получаем
Тогда
Подействуем
оператором Лапласа на функцию
:
следовательно, согласно (4.3.5) и (4.3.6)
Поле электрического диполя.
В простейшем случае электрическим диполем называется система, состоящая из двух разноименных точечных зарядов, но одинаковых по модулю и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.
d – + |
Физической характеристикой
электрического диполя является вектор
|
где – электрический дипольный момент.
Будем считать, что
является внутренней характеристикой
системы зарядов, которая не изменяется
при наложении внешнего поля, т.е.
.
Диполь называется точечным, если
расстояние от диполя, на котором
наблюдается его собственное поле много
больше размеров диполя, т.е.
.
Условием точечного диполя является
.
Между этими тремя векторами существует
связь:
а
т.к.
,
то
мало.
Найдем потенциал точечного диполя. Согласно принципу суперпозиции полей:
где
– единичный вектор. С учетом (4.3.16) для
потенциала электрического поля получим
Таким образом, поле диполя можно выразить через его дипольный момент, внутреннюю характеристику. Теперь найдем напряженность электрического поля точечного диполя.
Таким образом,
+ - |
Введем сферическую систему координат. Вектор направим по оси Z.
следовательно,
где
|
Найдем
проекции напряженности электрического
поля
на вектора
,
и
.
Объединяя результаты, получим вектор напряженности электрического поля, равный:
На практике мы имеем дело не с двумя, а с большим числом зарядов, образующих в данный момент ту или иную конфигурацию электрических зарядов. Тогда есть усредненное значение.
Рассмотрим случай системы зарядов.
где – мгновенное значение электрического дипольного момента. Приведем это выражение к стандартному виду. Для этого введем две точки, в которых преимущественно концентрируются положительные и отрицательные заряды
d
|
В этом случае вектор электрического диполя будет выглядеть следующим образом:
где
|
S
.
Распишем уравнение (4.3.23):
Будем считать, что система в целом нейтральна, тогда
С учетом (4.3.26) дипольный момент системы (4.3.25) можно представить в таком виде:
Можно показать, что если система в целом
нейтральна, то определение (4.3.25) не
зависит от выбора начала координат.
Сдвинем начало координат на вектор
,
тогда:
Поля мультиполей.
Идея в том, что поле сложной системы, состоящей из многих зарядов, представляется как суперпозиция полей более простых систем: кулоновское поле, поле диполя, поле квадруполя,…
Н
r′e
айдем потенциал системы зарядов, совершающих заданное движение, полагая при этом, что точка наблюдения находится вдали от системы.
r 
|
При
|
.
Согласно принципу суперпозиции полей
Т.к.
,
то это выражение можно разложить в ряд
по малым
.
Сначала ограничимся двумя членами
разложения:
где (производная в начале координат)
Тогда
Берем производную
В итоге получаем, что
где
– кулоновское поле,
– поле диполя. Таким образом, мы
представили поле сложной системы как
сумму кулоновского, дипольного … полей.
Такое разложение называется мультипольным
разложением. В общем случае n
– тый член разложения имеет вид:
где
По одинаковым индексам идет суммирование ((i,j,k,…)=1,2,3
Поле квадруполя.
Глядя на формулу
,
можно записать
где
Обозначим
– тензор второго ранга в трехмерном
пространстве.
Эта формула допускает обмен индексами:
Обозначим по аналогии с электрическим дипольным моментом
где
.
Тензор квадрупольного момента является симметричным:
Очевидно, что
Следовательно, независимыми элементами
тензора являются пять. Но
можно привести к диагональному виду (к
главным осям). В этом случае квадрупольный
момент выглядит следующим образом:
А
так как
равен нулю, то независимыми остаются
только два элемента. Можно положить:
если система обладает азимутальной
симметрией, и остается всего один
независимый элемент:
.
Он и определяет квадрупольный момент,
является внутренней характеристикой
данной системы.
Можно показать, что для электрически
нейтральной системы с равным нулю
дипольным моментом системы, тензор
квадрупольного момента не зависит от
выбора начала координат. Положим, что
,
тогда
Здесь члены с
и
равны нулю, т.к.
.
Потенциал квадруполя согласно (4.3.39)
имеет вид:
где
Здесь идет суммирование по i и j. Предположим, что система обладает азимутальной симметрией, тогда
С учетом этого получим:
Т.к.
где
– полином Лежандра. В этом случае
получаем следующий потенциал квадрупольного
момента системы:
Обобщая данную формулу, получим потенциал n – того момента:
где
Для наглядности построим несколько эквипотенциальных поверхностей, задавая различные n:
n=0 |
кулоновский потенциал |
|
n=1 |
потенциал дипольного момента |
|
n=2 |
потенциал квадруполя |
|
n=3 |
потенциал октуполя |
|
