§ 3.13. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме. Сила Лоренца.

Мы уже знаем, что плотность силы в теории поля определяется следующим образом:

Но эту же величину можно записать как

Следовательно, получаем закон:

Эта формула является законом сохранения энергии-импульса в дифференциальной форме.

Покажем теперь, что из этого закона можно получить силу, которая действует на заряд в электромагнитном поле – силу Лоренца. Распишем плотность силы для частицы согласно (3.9.5) на номера:

и согласно (3.10.6)

Подставим сюда четырехмерный вектор плотности тока в интегральной форме (3.7.8) в выражение для плотности силы для поля:

Теперь можно записать закон сохранения в виде

Нулю равно выражение в фигурных скобках, так как дельта-функция не является тождественно равной нулю. Таким образом, можно записать, что

Правая часть уравнения (3.13.7) и есть сила Лоренца.

Глава IV теория частиц и полей

§ 4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов. Теорема Ирншоу

Устойчивости статической системы зарядов в принципе в природе не существует, поэтому наш параграф называется об устойчивости. Возникает вопрос: можно ли, подбирая знаки и величины зарядов, создать устойчивую систему? Ответ: можно. Придумаем такую систему.

Т

-e

+4e

+4e

r

r

акая система может быть устойчивой. Здесь положительные заряды отталкиваются друг от друга, но будет существовать и сила притяжения между положительными и отрицательными зарядами, которая будет равна по величине силе отталкивания.

Таким образом, .

Но в действительности это квазиустойчивая система. Достаточно какому-либо заряду отклониться в сторону, как равновесие нарушится. Более строго это утверждение было сформулировано Ирншоу в виде теоремы.

Теорема Ирншоу гласит, что устойчивой системой статистически расположенных в пространстве зарядов не существует.

Докажем эту теорему.

Рассмотрим вопрос об устойчивости статической системы электрических зарядов, когда они все покоятся. Электростатическая энергия системы зарядов определяется следующим выражением:

здесь – потенциал, создаваемый -зарядом в точке, где находится -заряд; а

Множитель объясняется попарным взаимодействием зарядов.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы энергия имела минимум, т.е. все ее первые производные по координатам должны равняться нулю. И, кроме того, все вторые производные от по координатам каждого заряда должны быть положительными.

Но оказывается, что эти два условия одновременно выполнятся не могут, т. к. сумма вторых производных равна нулю:

а значит, все они не могут быть одновременно положительными.

Покажем, что это равенство действительно выполняется.

Здесь возможны два случая:

1. когда , тогда все производные равны нулю;

2. когда , тогда

т.к. .

Для простоты предположим, что -заряд находится в начале координат, тогда

Следовательно, минимума энергии не существует, поэтому устойчивой системы нет.

Теорема Ирншоу: Невозможно создать устойчивую статическую систему разноименных зарядов. Устойчивая система возможна лишь для движущихся зарядов, из-за которых возникают механические силы, компенсирующие электрические силы.