§ 3.8. Четырехмерный вектор плотности силы

В теории поля вместо четырехмерного вектора силы вводится четырехмерный вектор плотности силы .

Рассмотрим, как вводится этот вектор на примере силы Лоренца, действующей на заряд во внешнем поле:

Если теперь поделить обе части на гамма-фактор, то будем иметь

где согласно (3.7.6) и (3.7.7) , а значит

Внеся под знак интеграла и обозначив

Запишем

Для того, чтобы выражение было ковариантным, необходимо перейти к интегрированию по четырехмерному объему , проинтегрировав обе части по cdt. В итоге с учетом (3.8.2) получим выражение

Найдем теперь компоненты четырехмерного вектора плотности силы (3.8.4). Положив µ=1 и проведя суммирование, получим для пространственной компоненты

Обобщая на случай µ=1,2,3, получаем выражение

Аналогично, для временной компоненты выражение (3.8.4) принимает вид

Объединяя результаты и , имеем

Таким образом, все компоненты четырехмерного вектора плотности силы найдены.

§ 3.9. Тензор плотности энергии-импульса частиц

Ранее в релятивистской механике был определен четырехмерный вектор импульса

В теории поля данная величина не функционирует, и необходимо ввести четырехмерный вектор плотности энергии-импульса частиц. Введем сначала четырехмерный вектор плотности силы аналогично тому, как это было проделано для с той лишь разницей, что вместо будет стоять :

Необходимо перейти к с помощью δ-функции. Получаем аналогично (3.7.8)

Здесь – координаты точки, где находится точечный заряд, – произвольная точка.

Поменяем в (3.10.3) производную с на , при этом поменяется знак:

Где, как очевидно, тензор является симметричным. Заметим, что согласно (3.4.10), четырехмерный вектор плотности силы для поля выглядит следующим образом:

так как сила связана с полем градиентом со знаком минус (согласно Ньютону ), а роль потенциальной энергии играет тензор . В формуле (3.9.4) нет минуса. Таким образом,

Перейдем к отысканию компонент тензора энергии-импульса.

Здесь t – время наблюдателя, а – время, по которому движется заряд.

В итоге, выражение (3.9.6) можно представить в наглядном виде, если снять интеграл по .

где .

Найдем компоненты этого тензора, используя то, что , а .

Теперь найдем :

И наконец,

Введем – плотность энергии; – плотность импульса, умноженная на скорость света; – диадное произведение, т.е. неопределенное произведение двух рядом стоящих векторов с разными тензорными индексами. С учетом этих обозначений, компоненты тензора энергии-импульса запишутся следующим образом:

§ 3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля

В качестве исходного соотношения воспользуемся второй парой уравнений Максвелла:

Кроме того, будем использовать четырехмерный вектор плотности силы:

Возьмем из и подставим в .

Рассмотрим второй член выражения (3.9.3) более подробно:

Используя первую пару уравнений Максвелла, перепишем (3.9.4) следующим образом:

С учетом (3.9.5) выражение (3.9.3) запишется так:

где - тензор плотности электромагнитного поля.

Выражение (3.9.7) – окончательное выражение для тензора плотности электромагнитного поля. Теперь найдем его компоненты. Учитывая, что этот тензор симметричный, при µ=0 получаем

где – плотность энергии электромагнитного поля.

В качестве упражнения предлагается вычислить компоненты тензора второго ранга. Мы воспользуемся ответом к этой задаче:

Тогда, зная компоненты (3.10.9), можно вычислить или .

так как и, следовательно,

Здесь – вектор Пойнтинга или Умова – Пойнтинга, это поток энергии электромагнитного поля, т. е. количество энергии, которое проходит в единицу времени через единицу площади, нормально к ней.

Тензор напряженностей Максвелла имеет вид:

где i,j принимают значения 1, 2, 3.

Таким образом, получаем