§ 3.6. Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

Для вывода второй пары уравнений Максвелла в интегральной форме, возьмем пару в дифференциальной форме

и проинтегрируем её, перед этим умножив на .Тогда получим:

где есть полный заряд q. Используя теорему Остроградского-Гаусса, получим:

Это и есть первое уравнение второй пары в интегральной форме. Его удобно использовать при решении задач. Уравнение предполагает существование в природе электрических зарядов, магнитных же зарядов нет. Его можно использовать для простого определения электрического поля, создаваемого отдельными зарядами, находящимися внутри этой самой замкнутой поверхности .

Возьмем, например, заряд в виде однородно заряженного шарика. Определим электрическое поле , которое создается этим положительным зарядом. Рассмотрим два случая: электрическое поле вне и внутри шарика.

Покажем, что вне этого шара, радиуса а, Е будет одинакова для шаров любого радиуса, и будет совпадать с кулоновским полем, а внутри Е растёт пропорционально радиусу самого шарика. Эту зависимость очень просто получить из соотношения (3.6.2).

1. Вычислим напряжённость вне шара, создаваемую им самим.

Из соображений симметрии ясно, что напряжённость электрического поля в каждой точке этой сферы будет одинакова. А вектор нормали k элемента поверхности будет параллелен радиус-вектору r в каждой точке. Следовательно, при интегрировании напряжённость электрического поля Е = const. Тогда

С другой стороны, согласно (3.6.2)

Следовательно, напряжённость кулоновского поля вне шара равна

Это выражение не зависит от размеров шарика. В каждой точке вне шара напряжённость электрического поля описывается кулоновским взаимодействием.

2. Рассмотрим напряжённость внутри шара. На каждой точке сферической поверхности внутри шара напряжённость поля постоянна. Следовательно, её можно вынести за знак интегрирования.

где – заряд внутри сферы радиуса r, – объемная плотность заряда, – объем шарика.

Подставляя эти выражения в , получаем

Здесь – полный заряд, a-радиус шарика. Получаем, что напряжённость внутри шара есть

Построим график зависимости напряженности электрического поля от расстояния. Учитывая то, что внутри шара ~ , а вне ~ , получим следующую зависимость:

E 0 a r

Теперь рассмотрим другое уравнение (3.4.11) второй пары в интегральной форме. Для этого уравнение в дифференциальной форме

переведем в интегральное (3.6.7).

К левой части уравнения (3.6.7) применим теорему Стокса. Тогда, учитывая, что и , получим выражение

где – ток смещения, – омический ток, связанный с потерей энергии на тепло в проводниках и движением зарядов.

Эту формулу можно использовать для определения напряжённости магнитного поля в проводниках.

§ 3.7. Четырехмерный вектор плотности тока

Проблема состоит в том, что в рамках теории поля понятия точечного заряда или заряженной частицы не существует. В ней все физические величины в некотором смысле рассредоточены в пространстве. Но так как объективно понятие точечного заряда существует, необходимо разработать специальный математический аппарат для их описания применительно к теории поля. Согласно (3.4.6) имеем

Здесь

- скорость заряда в данной точке пространства, т.е. скорость данного точечного заряда с радиус-вектором ; - плотность заряда, которая зависит от произвольной точки.

Мы вводим понятие плотности тока в теории поля, чтобы исключить из рассмотрения точечные заряды (т.к. в теории поля заряд непрерывный, “размазанный”). Плотность точечного заряда в теории поля равна

где

Мы знаем, что δ-функция нормирована на единицу:

Следовательно, плотность заряда, проинтегрированная по всему пространству, даст нам сам заряд.

Трехмерный вектор плотности тока записывается следующим образом:

Скорость заряда – не зависит от координат, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла. Объединяя полученные формулы, получим:

Здесь – не четырехмерный вектор скорости, но нековариантность компенсируется нековариантностью плотности заряда, так что в целом - это четырехмерный вектор, поэтому также является четырехмерным вектором.

Проверим размерность:

Можно ввести четырехмерный вектор плотности тока в явно ковариантной форме.

где - четырехмерный вектор скорости точечного заряда в точке с четырехмерным радиус-вектором ; - инвариантный параметр, имеет размерность времени, после интегрирования перейдет в собственное время.

По свойству δ-функции имеем:

Надо проверить, что плотность тока в явной ковариантной форме дает те же компоненты, что были записаны ранее.

Используя формулу

снимем интегрирование по . Здесь – корень уравнения ; – время наблюдателя, но при оно совпадает с собственным временем точечной частицы.

Введем гамма-фактор

При подстановке в (3.7.13) получим

Четырехмерный вектор плотности тока должен удовлетворять уравнению непрерывности плотности тока:

Убедимся в его выполнении для данного вектора плотности тока :

Внесем производную под интеграл, тогда она будет действовать на δ-функцию.

Воспользуемся правилом переброса производной от δ-функции. Перебросим производную от к , тогда получим

так как δ-функция на бесконечности равна нулю, следовательно, уравнение непрерывности выполняется.