§ 3.5. Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

Уравнения Максвелла в интегральной форме очень удобны при рассмотрении граничных условий и геометрии электромагнитных полей.

Рассмотрим первую пару уравнений в дифференциальной форме.

Для того чтобы получить уравнение в интегральной форме, надо проинтегрировать (3.5.1) по всему пространству:

ds ds H H

Используя теорему Гаусса-Остроградского, заменяем интегрирование по объему на интегрирование по замкнутой поверхности, которая ограничивает данный объем. где вектор – элементарная площадка на поверхности объема . Этот вектор направлен по внешней нормали (см. рис.). Скалярное произведение является элементарным потоком .

Тогда полный поток напряженности магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю, т.е.:

Рассмотри магнитный поток подробнее.

где α – угол между направлениями и , а – проекция на нормаль . Поток может быть как отрицательным, так и положительным. Для выходящих линий магнитного поля α– острый, следовательно, , и поток положителен. Если же линии входящие, то α – тупой угол и поток будет отрицательным. Полный поток линий напряженности магнитного поля состоит из суммы потока входящих линий напряженности и потока выходящих линий, а полный поток, как мы уже знаем, равен нулю:

Иногда поток напряженностей магнитного поля характеризуют в терминах числа линий напряженности. Это предполагает существование элементарного магнитного потока . Если каждому элементарному потоку сопоставить отдельную магнитную линию, то полный поток можно записать следующим образом:

Тогда полный магнитный поток А это означает, что число линий входящих равно числу выходящих линий, т.е. . Следовательно, каждая магнитная линия непрерывна (рис. слева). Эта формула говорит о том, что внутри замкнутой поверхности нет источников магнитного поля. А так как наша замкнутая поверхность выбирается в произвольном месте пространства, это говорит о том, что источников магнитного поля (магнитных зарядов) вообще не существует.

Долгое время представление об элементарном магнитном потоке было чисто умозрительным, придуманным для наглядности. Однако, в 1950 году англичанин польского происхождения Фритц Лондон предсказал квантование магнитного потока в сверхпроводящем кольце с током. В 1961 году Долл и Нойбауэр, а также независимо от них Дивер и Файербанк обнаружили экспериментально квантование магнитного потока.Рассмотрим теперь второе уравнение первой пары:

Для получения этого уравнения в интегральной форме, умножим его скалярно на элементарную площадку и проинтегрируем:

Из теоремы Стокса получим из поверхностного интеграла интеграл по замкнутому контуру, который ограничивает эту поверхность:

где – касательный к контуру вектор, он выбирается так, чтобы при обходе контура внутренняя часть контура (поверхность) была всегда слева (рис. слева).

– криволинейный интеграл, который называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру. Отсюда вытекает закон Фарадея для магнитного потока (индукции).

Умножим (3.5.7) на заряд , который будем считать единичным, и получим следующее выражение:

Учтем, что , получим

Здесь – элементарная работа по перемещению единичного заряда на участке , следовательно – электродвижущая сила:

Мы пришли к закону Фарадея для электромагнитной индукции. Формально он гласит: при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего некоторую поверхность, в замкнутом проводящем контуре, окаймляющем эту поверхность, возникает индукционный ток, который всегда имеет такое направление, что своим собственным магнитным полем препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего данный ток. Это соотношение имеет глубокий физический смысл.

Рассмотрим постоянный магнит и контур. Если будем двигать магнит к контуру (рис. 3.5.4), в контуре возникнет индукционный ток, который будет направлен в противоположную сторону от . Этот ток вызовет магнитное поле, которое будет направлено по правилу Буравчика. Магнитный поток будет ослабевать. Если будем двигать магнит от контура (рис.3.5.5), то магнитный поток ослабеет. Изменение магнитного потока отрицательно: . Следовательно, ЭДС индукции вызовет ток , который усилит ослабевающее магнитное поле.

Теперь рассмотрим неточечный заряд. Тогда

Умножим выражение (3.5.11) на , затем проинтегрируем и получим:

Мы знаем, что , где – элементарный импульс.

Из постулата Бора следует, что циркуляция импульса по замкнутому контуру ( левая часть уравнения ) кратна целому числу n и равна . Тогда

Минимальный магнитный поток соответствует n=1:

где q – заряд носителя тока.

Hвнеш I Hсверхпроводника

Квантование магнитного потока наблюдалось в сверхпроводниках. Если мы хотим получить величину, соответствующую эксперименту нужно взять значение заряда носителя сверхпроводящего тока .Мы взяли 2 , т.к. в сверхпроводниках носители тока - спаренные электроны. Элементарный магнитный поток в системе Гаусса записывается так: Был проведен эксперимент: кольцо из сверхпроводникового сплава (рис. слева) при очень низких температурах помещено в магнитное поле.

Сверхпроводники являются абсолютными диамагнетиками, т.е. они внутрь себя не пропускают магнитное поле, они его выталкивают, следовательно, в кольце появятся сверхпроводящие токи, которые будут уничтожать внешнее магнитное поле. В этом кольце возникнет много маленьких круговых токов, при сложении которых по внешней стороне кольца пойдет электрический ток, вследствие чего появится магнитное поле сверхпроводника.

Ф Н

Если резко убрать внешнее магнитное поле, то магнитное поле сверхпроводника останется. Если уменьшать магнитное поле медленно, то магнитное поле сверхпроводника будет уменьшаться квантами. Внешнее магнитное поле уменьшается непрерывно, а магнитное поле сверхпроводника – ступенчато. Но даже при полном отсутствии внешнего магнитного поля, магнитное поле сверхпроводника все равно останется, и этот его элементарный поток равен (рис. слева).