§ 3.3. Вторая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для чистого поля

Чтобы получить конкретные уравнения электромагнитного поля, необходимо задать явный вид плотности функции Лагранжа, которая должна быть инвариантной величиной.

Мы выбрали именно этот инвариант, т. к. он дает уравнения, которые удовлетворяют экспериментальным данным. Если бы мы взяли другой инвариант, то получили бы первую пару уравнений Максвелла.

Нам нужно подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа:

Для начала вспомним, что

в случае чистого поля не зависит от потенциала, поэтому

Рассмотрим теперь первое слагаемое в формуле :

Таким образом, получили вторую пару уравнений Максвелла:

или

Покажем, что это именно пара уравнений, задавая индекс µ. Пусть сначала µ=1:

Пусть теперь µ=0:

Таким образом, получили два уравнения, выпишем их отдельно:

§ 3.4. Вторая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме при наличии зарядов и токов

Заряды и токи сами могут создавать электромагнитные поля. Обобщим действие с учетом зарядов и токов. Действие – аддитивная величина, следовательно, оно слагается из действий самих зарядов , а также члена, учитывающего взаимодействие зарядов с полем и действия для чистого поля :

где

Будем считать, что мы уже знаем движение зарядов и уравнение движение зарядов. Следовательно, выполняется условие .

В формуле -потенциал внешнего поля по отношению к зарядам.

Здесь -потенциал, создаваемый самими зарядами; -элемент четырехмерного объема;

Первый член в формуле написан в терминах частиц, поэтому он не готов для применения в теории поля. Необходимо перейти от к .

Учитывая, что

выражение примет вид:

Величина , если - четырехмерный вектор. Обозначим:

Тогда эффективное действие будет равно

Зная действие, можно определить плотность функции Лагранжа.

Подставляя это в уравнение Эйлера-Лагранжа(3.2.10), будем иметь

Из выражения видно, что

Таким образом, мы получили вторую пару уравнений Максвелла, которая в явном виде записывается как два уравнения:

Иногда вместо плотности тока вводят плотность тока смещения.

где

Здесь – омическая плотность тока, связанная с движением зарядов в проводниках; - плотность тока смещения, определяемая выражением:

Величина введена для обеспечения непрерывности электрического тока в цепях. Например, если в цепи есть конденсатор. По цепи бежит ток, а между обкладками конденсатора будет течь ток смещения.

Продифференцируем вторую пару еще раз по µ. Т.к. , получаем уравнение непрерывности плотности тока:

Можно записать это выражение в явном виде. Для этого просуммируем это выражение по µ:

Отсюда получаем уравнение непрерывности плотности тока в явном виде:

В теории поля под плотностью тока понимают плотность потока электрической жидкости (электрически заряженной), если считать ее несжимаемой, т.е.

С учетом выражения (3.4.19), и определяя из (3.4.6), для уравнения непрерывности получим:

Следовательно,

Рассмотрим случай трубки с током (см. рис.).

. Выберем замкнутую поверхность в виде трубки с током так, чтобы боковая поверхность была ограничена линиями тока, а сечения задавались бы векторами нормалями и . Вектор направлен по нормали вдоль линий тока, а - против линий тока.. Следовательно, интеграл по боковой поверхности равен нулю, т.к. через нее ток не течет . Поэтому Если считать, что в единицу времени через единицу площади поперечного сечения трубки тока всегда проходит одно и то же количество жидкости, то

В итоге получаем, что

Получили, что внутри объема заряд все время остается постоянным.