Глава III полевая электродинамика

§ 3.1. Первая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Принято считать, что первая пара уравнений Максвелла не имеет самостоятельного значения. Эти уравнения нельзя рассматривать как уравнения движения поля. Это объясняется тем, что уравнения первой пары являются следствием определений напряженностей полей через потенциалы.

Первая пара получается тривиально с точки зрения СТО.

(3.1.1)

Возьмем производную от этого выражения:

(3.1.2)

Используя циклические перестановки индексов, получим:

(3.1.3)

Теперь сложим уравнения (3.1.2) и (3.1.3). Т.к. смешанные производные по соответствующим компонентам равны, то при сложении уравнений эти шесть членов вместе дают ноль. Таким образом, получаем первую пару уравнений Максвелла:

(3.1.4)

Найдем уравнение в векторной форме. Для этого проставим индексы и, используя тензор электромагнитного поля, запишем это уравнение в компонентах этого тензора.

Пусть µ=1, ν=2, ρ=3. Получим:

Пусть теперь µ=1, ν=2, ρ=0. В таком случае получаем:

С учетом и первая пара уравнений Максвелла в векторной форме запишется следующим образом:

Обычно эти уравнения выводят из уже известных нам выражений:

Умножим первое уравнений из скалярно на , а второе - векторно на . Тогда получим ту же пару уравнений:

§ 3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля

Чтобы найти уравнение движения электромагнитного поля, надо использовать вариационный принцип Гамильтона для поля. Этот принцип гласит: вариация действия для истинного движения равна нулю. Но поле, в отличии от частиц, представляет собой принципиально иную физическую сущность. Если точечные частицы характеризуются своим положением только в одной точке, то поле непрерывно заполняет собой все пространство. В связи с этим и действие, которое для частицы имело вид

(3.2.1)

в теории поля нуждается в переопределении. Для описания поля требуются непрерывные в пространстве и времени величины. Поэтому вместо мы будем использовать . Вместо же , которая является производной по координатам, а не по τ. Сама функция Лагранжа тоже не годится, ее следует заменить на плотность функции Лагранжа . Кроме того, в теории поля . Чтобы действие сохранило свою размерность, произведем замену следующим образом: . Проверим, выполнится ли это. Размерность действия в теории частиц:

(3.2.2)

Подставим размерности для действия в теории поля. Тогда

Следовательно, этот размерный множитель подходит.

Запишем действие (3.2.1) в новых обозначениях:

Чтобы получить уравнение движение мы должны взять вариацию и приравнять ее к нулю:

Рассмотрим более подробно второй член:

Используя теорему Остроградского-Гаусса, перейдем от интегрирования по четырехмерному объему к интегрированию по замкнутой поверхности.

г

x

де – четырехмерная гиперповерхность. Размерность её .

П оверхность этой шайбы будет нашей гиперповерхностью в четырехмерном пространстве, если мы возьмем ось симметрии за cT. Все четыре оси должны быть ортогональными. Будем считать, что на боковых гиперплоскостях вариации потенциала

Интеграл по гиперцилиндрической поверхности обратится в нуль, если мы распространим ее на бесконечность, где поля обращаются в нуль. Таким образом, весь наш интеграл по замкнутой поверхности обращается в нуль. Следовательно, выражение перепишется следующим образом:

Чтобы уравнение (3.2.9) всегда обращалось в ноль, нулю должно быть равно выражение, которое стоит в фигурных скобках, т. к. .

Это и есть уравнение Эйлера-Лагранжа для поля.

Примечание: Оказывается, что имеет произвол, а именно: она определена с точностью до четырехмерной дивергенции от функции произвольных координат и времени. Например, заменим на . Эта добавка не меняет уравнение Эйлера-Лагранжа, т.е.: