§ 2.4. Вывод силы Лоренца из уравнений Эйлера-Лагранжа
Чтобы получить уравнения движения, которые реализуются на практике, надо сконструировать функцию Лагранжа применительно к данной задаче. Общим требованием является то, чтобы функция Лагранжа была инвариантной величиной:
Для
свободной частицы функция Лагранжа
может зависеть от ряда скалярных
произведений - инвариант, как то
(I),
(II),
(III). В первом случае функция
Лагранжа зависит от того или иного места
в пространстве, то есть нарушается
принцип однородности пространства. Во
втором случае входит скалярное
произведение
,
что приводит к тому, что функция Лагранжа
зависит от угла между
и
,
что в свою очередь означает нарушение
принципа изотропности пространства.
Таким образом, из этих трех инвариантов
мы можем взять только
.
Возьмем функцию Лагранжа в виде:
чтобы размерность совпадала с размерностью
энергии. Коэффициент
мы взяли для удобства, хотя это можно
было и не делать. Подставив полученную
формулу в уравнение Эйлера-Лагранжа
(2.3.7), можно получить
Следовательно, мы получили
откуда вытекает закон сохранения энергии для свободной частицы:
Если
же частицу (или заряд) поместить во
внешнее поле, то вид функции Лагранжа
усложнится. В нее войдут функция Лагранжа
,
описывающая движение свободной частицы,
и
,
описывающая взаимодействие частицы
(заряда) с полем:
По-прежнему,
определяется выражением
,
тогда как
берем в виде:
Таким образом, общая функция Лагранжа будет выглядеть как
где
есть четырехмерный потенциал.
В этом случае частные производные функции Лагранжа будут иметь следующий вид:
Таким образом, уравнение Лагранжа запишется как
Взяв
соответствующие производные и вспомнив,
что четырехмерный вектор ускорения
есть
,
получим:
Наконец,
воспользовавшись тем фактом, что
,
запишем
Выражение
слева есть ни что иное как сила, а скобка
в правой части есть определения тензора
электромагнитного поля
.
Таким образом, было получено выражение
для силы, являющейся представлением
силы Лоренца, которое имеет вид
§ 2.5. Релятивистские уравнения Гамильтона
Уравнения Гамильтона в классической механики имеют вид:
где r и p – независимые канонические переменные.
Функция Гамильтона в классической механике без учета электромагнитных полей:
Если взять производные по времени от канонических переменных, то получим нерелятивистскую скорость и нерелятивистскую, ньютоновскую силу. Покажем это:
Можно получить второй закон Ньютона из уравнений Гамильтона:
Таким образом, релятивистские уравнения Гамильтона имеют вид:
Следует
отметить, что здесь
и
- "новые" функция Гамильтона и
канонический импульс. И следует убедиться,
что данные уравнения совпадают с теми,
которые были определены ранее.
В нерелятивистском случае функцию Гамильтона для одной частицы можно было записать как
В релятивистском же приближении "новую" функцию Гамильтона следует записывать как
Таким образом,
Если
подставить это уравнение в
,
то как раз получим силу Лоренца:
Таким образом, мы показали, что силу Лоренца можно также вывести из релятивистских уравнений Гамильтона.