Примеры решения задач

Задача. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы: .

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу- столбец неизвестных х₁, х₂, х₃; Н – матрицу-столбец свободных членов:

с учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

(1)

Если матрица А невырожденная (ее определитель Δ отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножить обе части уравнения (1) на А^-1 слева, получим:

Но А^-1· А = Е, (Е- единичная матрица), а Е ·Х = Х, поэтому

(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1. Пусть имеем невырожденную матрицу: , тогда где A_ij (i =1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента aij в определитель матрицы А, которое является производным (-1)^i+j на (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения A_ij элементов матрицы А:

- следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А^-1.

Тогда

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-линейные (гиперболические), степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто в экономике следующие функции:

1. Функции полезности (функции предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

Функции, в которых задается соответствие между величинами, характеризующими ход конкретного процесса или явления в сельском хозяйстве, называются производственными.

Производственные функции получают в результате изучения и обработки числовых данных результатов хозяйственной деятельности или на основе специально поставленных экспериментов. Возможно что при построении производственной функции главное внимание обращается на то, чтобы функция, заданная в виде формулы, отражала бы наиболее важные, существенные закономерности исследуемого процесса. Таким образом, производственная функция отражает процесс приближенно, является его математической моделью. Производственные функции дают возможность прогнозировать результаты деятельности человека, давать научные рекомендации, причем прогноз тем точнее, чем лучше составлена функция.

Примеры производственных функций:

1) Пусть у – стоимость произведенного продукта, х – затраты на его производство, тогда у-х – прибыль П. Если прибыль разделить на затраты, то получим следующее выражение для рентабельности:

.

Чем меньше издержки производства, тем выше рентабельность.

2) Расходы (в рублях) на откорм одного животного определяются формулой

,

где t – время откорма в месяцах, t>0.

3) Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4) Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

5) Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления и предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.д.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, образующего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь, или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной. Так, например, исследуя зависимость спроса на различные товары от дохода

, ,

(функции Л. Торквиста), мы можем установить уровни доходов , , , при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения , для групп товаров первой и второй необходимости (см. рис.1).

Рис.1

А, рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис.2).

Рис.2