Указания к выполнению контрольной работы

Тема 1. Элементы линейной алгебры Матричные вычисления в экономических задачах Цены в системе межотраслевых связей

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства - в секторе конечного спроса; при этом потребление секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

х_i- объем i-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i=1,2,3…. n

-объем товаров и услуг i -го сектора, потребляемых в j-м секторе;

y_i- конечный продукт i -го сектора (объем продукции i -го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

-количество продукции i -го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициент прямых затрат).

Матрица А=( ) называется структурной матрицей экономики. Цены в открытой модели межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое их которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входит не только плата за ресурсы, приобретенные в данном секторе и других секторах, но и добавленная стоимость (заработная плата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги, выплачиваемые правительству и другим секторам конечного спроса, и др.).

Обозначим:

-суммарные платежи i -го сектора за одну единицу произведенной i –м сектором продукции;

- цена единицы продукции j-го сектора;

- объем товаров и услуг i -го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе.

Тогда , но поскольку , то .

Разделив на ненулевые х_{i ,} получим для искомых цен систему уравнений

В матричной форме система уравнений для цен имеет вид (Е-А)^ТР=V, где А- структурная матрица экономики; V-затратный вектор платежей; Р- искомый вектор цен. Тогда Р можно найти по формуле

Р=((Е-А)^Т)^-1 V, или что тоже самое, Р=(( Е-А)^-1 )^Т V.

Аналитические цены Р через платежи V имеют вид:

Из приведенных равенств видно, что элемент d_ij матрицы ( Е-А)^-1 показывает, как изменится цена р_i единицы продукции i –го сектора при изменении на единицу платежа в j-м секторе.

Поскольку Х^ТV=Х^Т(Е-А)^ТР=((Е-А)Х)^Т=Y^ТР, то для рассмотренной модели межотраслевых связей справедливо тождество .Левая часто этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть – суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

Пример.

Рассматривая модель экономики, в которой выделены три производящих сектора: промышленность, транспорт, сельское хозяйство, найдите цены на единицу продукции для каждого производственного сектора при платежах V=(0.4 0.1 0.5)^Т.

Структурная матрица экономики приведена в таблице.

Табл.1 Структурная матрица трехсекторной экономики.

	Сельское хозяйство	Промышленность	Транспорт
Сельское хозяйство	0.20325	0.05	0.48193
Промышленность	0.12195	0.03125	0.72289
Транспорт	0.06098	0.04375	0.56225

Решение.

Зададим структурную матрицу экономики А и вектор платежей V

V:=

Вычислим матрицу полных затрат D=(E-A)^-1 Вычислим вектор цен Р_i- цена единицы продукции i –го сектора Р=D^ТV Р=

D^Т=

Элемент D_ij равен увеличению цены единицы продукции i –го производственного сектора при увеличении на единицу платежей в j-й сектор экономики. Например, при увеличении на 1 платежей в 1-й сектор (сельское хозяйство) стоимость единицы продукции 3-го сектора (транспорт) возрастет на величину 1.81747 (D₃₁=1.81747)