Тема 2. Решение транспортных задач в ms Excel
Транспортная задача
Задача. Пусть
производство продукции осуществляется
на 4-х предприятиях А1,
А2,
А3,
А4 а
затем развозится в 5 пунктов потребления
этой продукции B1,
B2,
B3,
B4,
B5.
На предприятиях Ai (i
= 1, 2, 3, 4) продукция находится соответственно
в количествах ai (условных
единиц). В пункты Bj (j
= 1, 2, 3, 4,5) требуется доставить bj единиц
продукции. Стоимость перевозки единицы
груза (с учетом расстояний) из Ai в
Bj определена
матрицей 
.
Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции. Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц продукции. Стоимость перевозки единицы продукции (в у. е.) с предприятий в пункты потребления приведена в таблице.
Требуется
минимизировать суммарные транспортные
расходы по перевозке продукции.
Необходимо выполнить следующее:
1. Установить, является ли модель транспортной задачи, заданная таблицей, сбалансированной.
2. Разработать математическую модель задачи.
3. Найти минимальную стоимость перевозок, используя надстройку «Поиск решения» в среде MS Excel.
Решение.
1. Выполним проверку сбалансированности математической модели задачи. Модель является сбалансированной, так как суммарный объем производимой продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:
235+175+185+175=125+160+60+250+175
(При решении этой задачи не учитываются издержки, связанные со складированием и недопоставкой продукции).
2. Приступим к построению математической модели поставленной задачи. Неизвестными будем считать объемы перевозок.
Пусть хij – объем перевозок с i-го пункта поставки в j-й пункт потребления.
Суммарные
транспортные расходы – это функция 
,
где сij –
стоимость перевозки единицы продукции
с i-го
предприятия в j-й
пункт потребления 
.
Неизвестные
в этой задаче должны удовлетворять
следующим ограничениям:
• Объемы
перевозок не могут быть отрицательными,
т. е. 
;
• Поскольку
модель сбалансирована, то вся продукция
должна быть вывезена с предприятий, а
потребности всех пунктов потребления
должны быть полностью удовлетворены,
т. е. 
и 
.
Итак,
имеем следующую задачу ЛП:
найти
минимум функции: 
при
следующих ограничениях:
, 
, 
3. Приступаем к решению задачи на компьютере.
3.1. Откроем новый рабочий лист Excel.
3.2. В ячейки B3:F6 стоимость перевозок единицы груза.
3.3. В ячейках B16:F16 укажем формулы для расчета суммарной потребности продукции для j-го пункта, в ячейках G12:G15 – формулы суммарного объема производства i-го предприятия.
3.4. В ячейки B18:F18 заносим значения потребности продукции соответствующего пункта потребления, в ячейкиH12:H15 заносим значения объема производства соответствующего предприятия.
3.5. В ячейку B20 занесем формулу целевой функции.
3.6. Выполним команду Данные → Поиск решения. Откроется диалоговое окно Поиск решения.
3.7. В поле Установить целевую ячейку указываем ячейку, содержащую оптимизируемое значение. Установим переключатель Равный в положение минимальному значению.
3.8. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров $B$12:$F$15.
3.9. В поле Ограничения введем необходимые ограничения и нажмем на кнопку Добавить, затем Выполнить.
В результате получится оптимальный набор переменных при данных ограничениях:
Оптимальность решения можно проверить, экспериментируя со значениями ячеек $B$12:$F$15.
Варианты контрольных заданий
1.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
200 |
190 |
100 |
140 |
120 |
||
A1 |
270 |
2 |
4 |
6 |
4 |
9 |
A2 |
170 |
9 |
8 |
2 |
6 |
8 |
A3 |
310 |
6 |
4 |
5 |
8 |
2 |
2.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
200 |
170 |
80 |
60 |
180 |
||
A1 |
60 |
3 |
7 |
3 |
9 |
5 |
A2 |
360 |
7 |
8 |
3 |
9 |
7 |
A3 |
270 |
8 |
2 |
8 |
6 |
2 |
3.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
30 |
190 |
50 |
420 |
270 |
||
A1 |
400 |
4 |
2 |
3 |
3 |
8 |
A2 |
170 |
9 |
6 |
8 |
7 |
4 |
A3 |
390 |
6 |
5 |
9 |
9 |
4 |
4.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
200 |
210 |
20 |
120 |
200 |
||
A1 |
340 |
5 |
5 |
7 |
5 |
7 |
A2 |
300 |
3 |
3 |
5 |
5 |
7 |
A3 |
110 |
8 |
4 |
5 |
3 |
7 |
5.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
340 |
50 |
20 |
160 |
230 |
||
A1 |
240 |
6 |
8 |
4 |
2 |
6 |
A2 |
190 |
5 |
7 |
6 |
5 |
4 |
A3 |
370 |
4 |
6 |
6 |
8 |
3 |
6.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
50 |
160 |
200 |
160 |
210 |
||
A1 |
280 |
6 |
3 |
4 |
4 |
6 |
A2 |
190 |
4 |
3 |
6 |
4 |
8 |
A3 |
310 |
8 |
5 |
9 |
2 |
5 |
7.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
30 |
50 |
100 |
150 |
190 |
||
A1 |
290 |
7 |
6 |
8 |
7 |
5 |
A2 |
150 |
5 |
6 |
5 |
8 |
4 |
A3 |
80 |
7 |
7 |
4 |
5 |
5 |
8.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
290 |
120 |
330 |
100 |
110 |
||
A1 |
410 |
8 |
9 |
5 |
4 |
3 |
A2 |
140 |
8 |
5 |
9 |
8 |
9 |
A3 |
400 |
3 |
5 |
8 |
4 |
6 |
9.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
60 |
270 |
110 |
120 |
280 |
||
A1 |
430 |
9 |
4 |
5 |
6 |
3 |
A2 |
200 |
3 |
7 |
6 |
2 |
7 |
A3 |
210 |
5 |
7 |
2 |
5 |
5 |
10.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
200 |
190 |
100 |
140 |
120 |
||
A1 |
270 |
2 |
4 |
6 |
4 |
9 |
A2 |
170 |
9 |
8 |
2 |
6 |
8 |
A3 |
310 |
6 |
4 |
5 |
8 |
2 |
11.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
420 |
250 |
30 |
40 |
140 |
||
A1 |
350 |
2 |
2 |
2 |
5 |
4 |
A2 |
170 |
3 |
6 |
4 |
6 |
5 |
A3 |
360 |
4 |
5 |
3 |
6 |
3 |
12.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
230 |
180 |
60 |
30 |
280 |
||
A1 |
150 |
2 |
7 |
4 |
6 |
7 |
A2 |
440 |
7 |
7 |
7 |
2 |
7 |
A3 |
190 |
3 |
6 |
4 |
6 |
9 |
13.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
130 |
100 |
150 |
100 |
350 |
||
A1 |
260 |
3 |
4 |
7 |
4 |
5 |
A2 |
220 |
2 |
5 |
8 |
3 |
6 |
A3 |
350 |
7 |
2 |
3 |
9 |
9 |
14.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
60 |
30 |
30 |
10 |
110 |
||
A1 |
60 |
3 |
9 |
9 |
6 |
8 |
A2 |
120 |
7 |
9 |
6 |
5 |
4 |
A3 |
60 |
2 |
3 |
2 |
9 |
8 |
15.
Пункты отправления |
Запасы груза |
Пункты назначения и потребности |
||||
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
||
140 |
190 |
210 |
110 |
220 |
||
A1 |
180 |
3 |
6 |
5 |
7 |
3 |
A2 |
350 |
6 |
7 |
3 |
5 |
2 |
A3 |
340 |
6 |
2 |
3 |
7 |
8 |