10 Клас

1.Розв'язати рівняння : 1+ х +х²+ х³+...+хⁿ= 0.

2. Знайти проміжки, на яких функція набуває лише додатних або лише

від'ємних значень

3. Чи можуть довжини відрізків, які одержані при перетині двох хорд, бути чотирма послідовними цілими числами?

4.На сторонах квадрата АВСD позначено точки М, N і К так, що М - середина АВ, NВС, причому NС = 2 ВN, КАD, причому АК = 2DК. Знайдіть синус кута між прямими МС і NK.

Розв‘язання.

1. Розглянемо два випадки для степеня n : парний та непарний.

А) n=2k+1 найбільший степінь непарне число. Згрупуємо попарно доданки і одержимо:

(1+х)(1+х²+х⁴+х⁶+…+х^2к)=0. Так як другий множник завжди додатній, то 1+х=0; х=–1.

Б) n=2k найбільший степінь парне число. Домножимо чисельник і знаменник на (х–1) і одержимо вираз . Чисельник і знаменник перетворюються в нуль при х=1, тобто рівняння розв‘язку не матиме.

2. Допустимі значення х0. Введемо заміну . Тоді при а=1 або а=–2 (не задовольняє умову). Отже х=а²=1. Вираз від‘ємний при Вираз додатній при

3. Нехай відрізки задаються числами (х–1); х; (х+1); (х+2). За властивістю хорд маємо

(х–1)*(х+2)=х*(х+1) або х²+х–2=х²+х , тобто -2=0. Це неможливо. Таких відрізків немає

4. В N C NC=KD Це третина сторони квадрата BC=a. Тому MP NK.

F CP=PD=0,5a. MC=0,5 a. NFC=MCP.

sin  NFC=sinMCP= MP : MC= a : (0,5 a)=

M P

A D

K

11 Клас

1. Розв'язати рівняння:

2. Знайти остачу від ділення числа 2007 на деяке одноцифрове число, якщо остача від

ділення числа 1001 на це число дорівнює 5.

3. При яких значеннях а нерівність sіn⁵ х + соs³ ха не має розв‘язків? 4. У правильній чотирикутній призмі АВСDА₁B₁C₁D₁ бічна грань і переріз АВ₁С-

рівновеликі. Знайти кут між площиною цього перерізу і бічним ребром призми.

Розв‘язання.

1. Піднесемо до квадрата обидві частини рівняння маємо

Додамо до обох частин рівняння х і перенесемо з одного боку в інший а.

Можливі два варіанти: 1) тоді х=а=0 єдиний розв‘язок

2) Тоді або або

Звідси ; причому а1.

2. Оскільки задане число одноцифрове та більше за 5, то це може бути одне із чисел 6; 7; 8 або 9. Методом перебору знаходимо, що це 6. Маємо: при діленні 2007 на 6 отримаємо 334 та остачу 3.

3. Оскільки то із збільшенням показника степеня значення степеня зменшується. Тому ; ;

Отже, при а>1 нерівність немає розв‘язку

4.

Площа бічної грані S=a*H

А₁ В₁ Площа перерізу S=0,5* h;

D₁ C₁ Так як площі рівні, то

A B

O

D C