11 Клас
1. Доведіть, що якщо p та n – прості числа, більші трьох, то p2-n2 ділиться на 24.
2.Розв’яжіть
нерівність:
3. При яких
значеннях параметра а система рівнянь
має єдиний розв’язок.
4. Чи існує трикутник із висотами 24, 40 та 60 см?
Розв’язання.
1. p2–n2=p1–1–(n2–1)= (p–1)(p+1) –(n–1)(n+1)
Доведемо, що добуток (p–1)(p+1) , а також (n–1)(n+1) ділиться націло на 3, якщо змінні p та n – прості числа, більші ніж 3, тобто вони не є кратними 3.
Для будь-яких трьох послідовних натуральних чисел (p–1); р ; (p+1) –одне із чисел обов’язково ділиться на 3. Так як це не р, то одне із чисел р–1 або р+1, а отже добуток (p–1)(p+1) ділиться на 3. Для будь-яких двох послідовних натуральних чисел одне із чисел обов’язково ділиться на 2, тобто парне і це не число р, р+1 та р–1. З двох послідовних парних одне із чисел ділиться на 4, а друге на 2, тобто їх добуток ділиться на 2*4=8, а отже і 3*8=24. Оскільки (p–1)(p+1) ділиться на 24 та (n–1)(n+1) ділиться на 24, то їх різниця (p–1)(p+1) –(n–1)(n+1) ділиться на 24.
2. х+1≥1, тобто х≥–1;
х2+3х+4=(х+1)2+(х+1)+2≥2.
Маємо
Отже,
для всіх х зОДЗ (х≥–1) виконується дана
нерівність.
3
.
y
7
4
–4 0 4
|x|+y=4 –це симетричні відрізки
|y–a|2+x2=9=32 –коло радіусу 3 з центром в точці (0, а). Єдиний розв’язок одержимо при дотику кола до кута, утвореного відрізками, в точці (0,4).
Звідси і параметр а=7
4. Дивись задачу 4 для 10 класу