Розв’язання.

1. Згідно формули прямої y=kx+р коефіцієнт k характеризує кутовий коефіцієнт нахилу, який спадає від 1-ої до 3-ьої прямої, а параметр р задає координату перетину з віссю ординат, яка теж зменшується від першої до третьої прямої, що суперечитиме записаним формулам прямих.

2. Позначимо ребро сталевого кубика через а, тоді ребро мідного становить 1,2а. Якщо густину сталі позначити через , то густина міді становитиме 1,1. Маса сталевого кубика становитиме , а мідного , тобто більша в 1,9008 раз або на

(1,9008–1)*100%=90,08%

3. Задамо умову у вигляді х(у–3)+5у=25. З невід’ємності розв’язків маємо у5 та у>3. Тоді х=0; у=5 – перший корінь та у=4 х=5 – другий корінь. Маємо два розв’язки: (0;5); (5;4).

4. Позначимо сторону ВС через b, а сторону АС через с. Запишемо співвідношення між сторонами прямокутних трикутників, утворених висотами застосувавши теорему Піфагора:

С

c D b Визначимо параметр b² з кожної рівності

A K B Одержимо такі співвідношення:

та

Звідси або та

Тоді Отже,

10 Клас

1. 48 ковалів повинні підкувати 60 коней. Який найменший час вони затратять на роботу, якщо кожен коваль витрачає на одну підкову 5 хвилин. (Врахуйте, що кінь стояти на двох ногах не може).

2. Розв’яжіть рівняння: (х+1)⁴+(х–3)⁴=32

3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, в якого центри вписаного та описаного кіл симетричні відносно основи трикутника.

4. Чи існує трикутник із висотами 24, 40 та 60 см?

Розв’язання.

1. Щоб підковувати щоразу одну ногу коня, розділимо 60 коней на 5 груп по 12 коней, а 48 ковалів на 4 групи по 12 коней у групі. Покажемо на схемі, як ці ковалі за 5хв*5=25хв підкують усіх коней, не змушуючи коня піднімати більше однієї ноги, щоразу змінюючи групу коней, яку не підковують в ці 5 хвилин (не зафарбований прямокутник)

2. Виконаємо такі перетворення виразів:

((х+1)²)² +((х–3)²)²–2(х+1)²*(х–3)²=32–2((х+1)(х–3))² або

((х+1)²–(х–3)²)²=32–2*(х²–2х–3)² але (х²+2х+1–х²+6х–9)² =(8х–8)²=64(х-1)²

(х²–2х–3)² =((х–1)²–4)² Введемо заміну (х–1)²=а і одержимо рівняння: 64а=32–2(а–4)² =32–2а²+16а–32=16а–2а² або 2а²+48а=0

Це рівняння має корені а=0 і х=1 та а= –24, яке не задовольняє ОДЗ першого рівняння. Отже, єдиний розв’язок х=1. B

3 . Центр вписаного кола О

міститься на перетині бісектрис, O L

тому ВСО=DCO .

Центр описаного кола К

розміщений в точці перетину A D C

серединних перпендикулярів,

тому ВК=КС і КВС=КСВ. K

Із симетричності точок О та К

відносно основи випливає рівність

ОСD=DCK. Якщо ввести позначення KCD=x , то матимемо

DCB=DAB=2x, KCB=DBC=DBA=3x. Так як сума кутів трикутника 180⁰, то 2х+2х+2*3х=10х=180, х=18. Звідси, АCB=СAB=36⁰, АBС=108⁰

4. Ввівши величину S –площу трикутника, виразимо через неї сторони трикутника. З умови маємо , ,

Перевіримо нерівність трикутника додавши менші сторони:

Трикутник з такими сторонами існувати не може