Розв’язання.
1. В кожній сім’ї є хоча б одна дівчинка, тому кількість дівчаток неменша за кількість сімей. Хлопчиків ще більше, отже, дітей більше, ніж подвійна кількість сімей, тому більше, ніж батьків.
2. Сума номерів на кожному аркуші (з обох сторін) непарна, а сума на 25 аркушах (непарних) теж не може бути парною, тобто дорівнювати 2006.
3. 100%+20%=120%=1,2 – у стільки разів більше перше число від другого.
Х+1,2х=2,2х=11. Звідси х=5 –друге число, 11-5=6 – перше число
4. Простежується дуже цікава закономірність в одержанні заданих чисел:
7=4*2–1; 12=7*2–2; 21=12*2–3; 38=21*2–4. За цим же правилом одержимо іще три числа: 38*2–5=71; 71*2–6=136; 136*2–7=265. Утвориться ряд:
4, 7, 12, 21, 38, 71, 136, 265, …
8 клас
1.Розв’яжіть
рівняння:
2.Дано чотирикутник ABCD, у якому CBD=CAB i ACD=ADB. Довести, що ABC=ADC.
3. На дошці спочатку було записане число 1. Щохвилини до наявного у цей момент числа додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 200 520 052 005?
4. Доведіть, що різниця основ трапеції менша від суми бічних сторін, а сума основ – менша від суми діагоналей.
Розв’язання.
1. Є 2006:2=1003 доданки, кожен з яких не перевищує 1, бо маємо
Рівність можлива при умові (х+1)2=0, тобто х=–1.
2
.
Застосуємо властивість
зовнішнього кута трикутника: В С
AOD=BAO+ABO=
==CBO+ABO=B;
AOD=OCD+CDO= O
=ODA+CDO= D,
тобто B=D.
A D
3. Число 1 не ділиться на 3 (остача1), сума його цифр також не ділиться на 3 (остача 1), тому в суми числа і суми його цифр остача від ділення на 3 становить 2. Наступне число 2 та сума його цифр мають остачу від ділення 2( кожне), а в сумі дають остачу від ділення на 3 – одиницю. І так далі: остачі від ділення становлять 1 або 2. А число 200 520 052 005 ділиться націло на 3, чого одержати неможливо. Таке число не з’явиться на дошці.
4. Доведення легко помітити з добудов за нерівністю трикутника.
Виконаємо добудови ВК|| CD, DE||AC. У трикутниках АВК та ВDE
В
К=CD,
AK=AD–BC, DE=AC, AD=CE, BE==BC+AD
B
C E
B C
A D
A K D
З трикутника АВК AK=AD–BC<AB+CD, з трикутника BDE
BE=BC+AD<BD+AC
9 клас
1
.
Графік трьох лінійних функцій
розташовано так, як на рисунку. y
Чи існують такі числа a, b, c, що c
одна з функцій задається формулою: b
y=ax+b, друга : y=bx+c, третя:
y=cx+a? a
2. Виготовлено два кубики з міді й x
сталі. Ребро мідного кубика на 20%
більше, ніж ребро сталевого.
На скільки відсотків мідний кубик
важчий, ніж
сталевий, якщо густина
сталі
становить
густини
міді?
3. Знайдіть всі пари цілих невід’ємних чисел х, у, які задовольняють рівняння ху–3х+5у=25.
4. У гострокутному трикутнику АВС висота СК ділить сторону АВ у відношенні 2 : 1, рахуючи від точки А, а висота BD – сторону АС у відношенні 3: 1, рахуючи від точки А. Визначте сторону ВС, якщо АВ=а.