Районна олімпіада 2006 року
6 клас
1.Чи існують два натуральні числа, добуток яких дорівнює 168, а найбільший спільний дільник – 14 ?
2. Шерлок Холмс і доктор Ватсон, розкриваючи злочин, встановили, що злочинець, уникаючи переслідування, деякий шлях проїхав автомобілем; шлях удвічі довший, ніж автомобілем, подолав поїздом; 75% шляху, що проїхав поїздом, проплив пароплавом. Який шлях подолав злочинець, якщо пароплавом він проплив на 40км менше, ніж проїхав поїздом?
3. У кошику 30 грибів. Серед будь-яких 12 хоча б один маслюк, а серед будь-яких 20 грибів – хоча б один білий. Скільки маслюків і скільки білих грибів у кошику?
4. Нехай N – довільне 2006-значне число, яке ділиться на 9. Суму цифр числа N позначимо через А. Суму цифр числа А – через В, суму цифр числа В – через С. Знайдіть С.
Розв’язання.
1. Якщо кожне з двох чисел ділиться на 14, то їх добуток повинен ділитися на 14*14=196, але 168=14*12 і на 196 не ділиться. Тому, таких чисел немає.
2. Задачу досить легко розв’язати за допомогою схеми:
а
поїздом 2*2=4 частинки
пароплавом 4*3:4=3 частинки
Різниця між шляхом, подоланим автомобілем, та шляхом, що проплив пароплавом, становить 40 км, або одна клітинка. Всього подолано 2+4+3=9 частинок шляху або 40 км*9=360 км
Розв’язок з допомогою рівняння: х –0,75х=40. Звідки х=160 (км) проїхали поїздом, 160:2=80 (км) автомобілем, а 160–40=120(км) пароплавом. Всього було подолано кілометрів 80+160+120=360
3. Серед усіх грибів маслюків щонайменше 19 грибів, тобто не маслюків найбільше 11, бо інакше можна вибрати 12 грибів без жодного маслюка. Відповідно білих грибів щонайменше 11, а не білих щонайбільше 19, щоб вибравши будь-яких 20 мати хоча б один білий. Але 19+11=30, тому серед 30 грибів у кошику є саме 11 маслюків та 19 білих грибів.
4. Оскільки початкове число ділиться на 9, то і всі утворені суми повинні ділитися на 9. Найбільшою сумою цифр 2006-значного числа (утворене число А) може бути число 2006*9=18054, тобто число 5-значне, у якого сума цифр не перевищує 1+8+9*3=36 (число В), тобто буде або 27, або 18, або 9. Тоді утворене число С обов’язково дорівнюватиме 9.
7 клас
1. В одному будинку живуть тільки подружні пари з маленькими дітьми (сімей без дітей немає). Кожен хлопчик має сестричку, і взагалі хлопчиків більше, ніж дівчат. Чи може статися так, що в будинку дорослих більше, ніж дітей?
2. Математичний довідник має нумерацію сторінок від першої до останньої. Незнайко вирвав із різних його розділів 25 аркушів. Потім він підрахував суму всіх тих номерів сторінок, які вирвав. У нього вийшло число 2006. Коли про це дізнався Знайко, він сказав: «Ти і книжку зіпсував і в підрахунках помилився». Як Знайко знайшов помилку?
3. Є два числа. Перше на 20% більше від другого. У скільки разів перше число більше від другого? Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 11.
4. Задано ряд цілих чисел, складений за законом: 4, 7, 12, 21, 38, ... Продовжіть цей ряд до отримання восьмого числа