Висновок

При вивченні теми диференціальні рівняння 1-го та 2-го порядку можна спостерігати, що в історії розвитку теорії диференціальних рівнянь, на мою думку, виділяється в три етапи: 1)зародження теорії диференціальних рівнянь. Період, що охоплює останню чверть XVII та все XVIII ст.ст., з яким пов’язані імена таких вчених, як Ньютон, Лейбніц, брати Бернуллі, Ейлер, Клеро, Даламбер, Лагранж; 2)розвиток теорії у другій половині XIX і на початку XXст.ст. Важливий внесок у подальший розвиток теорії зробили Пуанкаре, Ляпунов та ряд вітчизняних математиків, зокрема Александров, Немицький, Лобачевський, Канторович та інші; 3)сучасність.

Математика не стоїть на місці, а безперервно рухається в перед, з розвитком людства виникає ще більша потреба в науці завдяки чому в останні роки отримали бурхливого розвитку різні теорії, пов’язані з інтегруванням диференціальних рівнянь різних типів, яким, безперечно належить яскраве майбутнє (Брук, Гутенмахер, Люстерник та інші). У даній роботі було систематизовано та узагальнено матеріал по темі, для чого було розглянуто ряд диференціальних рівнянь 1-го та деякі види диференціальних рівнянь 2-го порядків. Уmзалежності від змінних, що входять у рівняння, виду шуканої функції та її похідних можна виділити окремі види диференціальних рівнянь, зокрема рівняння з відокремлюваними змінними; однорідні рівняння та лінійні 1-го порядку; лінійні однорідні та неоднорідні 2-го порядку; рівняння у повних диференціалах; рівняння Бернуллі, що зводяться до лінійних; рівняння Клеро та Лагранжа. Для всіх цих видів рівнянь дано в роботі алгоритми розв’язків. Зокрема однорідні рівняння 1-го порядку шляхом підстановки зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними; лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку та рівняння Бернуллі розв’язуються шляхом введення замість шуканої функції добуток двох допоміжних функцій. Рівняння Клеро та Лагранжа розв’язуються шляхом введення допоміжного параметра. Деякі рівняння 2-го порядку шляхом введення заміни зводиться до рівнянь 1-го порядку . Для лінійних однорідних рівнянь 2-го порядку загальний інтеграл виражається в залежності від виду коренів характерного рівняння. Щодо загального розв’язку неоднорідного рівняння 2-го порядку, то він представляється як сума якогось часткового розв’язку цього рівняння і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Для знаходження часткового розв’язку розглянуто метод варіації довільних сталих. Для неоднорідних лінійних рівнянь 2-го порядку із сталими коефіцієнтами знаходження часткового розв’язку залежить від виду неоднорідності.

Для закріплення теоретичного матеріалу запропоновано короткий збірник задач та дано типові розв’язки різних видів рівнянь, які розглянуто у теоретичній частині роботи. Задачі підібрано з урахуванням викладеного матеріалу.