Збірник задач

Проінтегрувати диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Проінтегрувати диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних:

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Проінтегрувати диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних:

14. 

15. 

16. 

Проінтегрувати наступні лінійні диференціальні рівняння:

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Проінтегрувати рівняння Бернуллі:

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

Проінтегрувати наступні рівняння в повних диференціалах:

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

Проінтегрувати наступні рівняння (рівняння Лагранжа):

40. 

41. 

42. 

43. 

Проінтегрувати дані рівняння Клеро:

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

Проінтегрувати деякі найпростіші типи диференціальних рівнянь другого порядку, що зводиться до рівнянь першого порядку:

49. виділити частковий розв’язок, що задовольняє початковим умовам:

50. 

51. 

Проінтегрувати наступні лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами:

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

Знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціальних рівнянь (лінійних):

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

Відповіді:

Розглянемо типові приклади розв’язування диференціальних рівнянь.

1. Розв’язати рівняння виду

Розділяючи змінні, знаходимо або Інтегруючи, отримаємо або Останнє співвідношення є загальним інтегралом даного рівняння.

2. Розв’язати рівняння

Справа стоїть однорідна функція нульового виміру, відповідно маємо однорідне рівняння. Робимо заміну , тоді звідки або Відокремивши змінні, маємо: або Інтегруючи, знаходимо або Підставляючи , отримаємо загальний інтеграл або

3. Розв’язати рівняння

Щоб перетворити його в однорідне рівняння, робимо заміну Тоді Розв’язуючи систему двох рівнянь знаходимо У результаті отримуємо однорідне рівняння яке розв’язуємо підстановкою тоді Маємо або і ми отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними Відокремлюємо змінні: Інтегруючи, знаходимо або звідки Підставляючи сюди заміну вираз отримаємо Нарешті переходячи до змінних та , отримаємо

4. Розв’язати рівняння

Покладемо тоді Підставляючи вираз у вихідне рівняння, будемо мати або Для визначення отримаємо рівняння тобто звідки або Тоді для визначення отримаємо рівняння або звідки Тоді загальний інтеграл заданого рівняння буде мати вигляд

5. Розв’язати рівняння виду

Розділивши всі члени на отримаємо Введемо нову функцію , тоді Це лінійне рівняння. Знайдемо його загальний інтеграл: Підставляючи у лінійне рівняння вирази і : або звідки тоді або Для визначення отримаємо рівняння Відокремлюємо змінні Інтегруючи за частинами, маємо тоді відповідно загальний інтеграл даного рівняння є або

6. Розв’язати рівняння

Перевіримо, чи є це рівняння в повних диференціалах. Позначимо тоді Отже, ліва частина даного рівняння є повний диференціал деякої невідомої функції Знайдемо цю функцію. Оскільки то відповідно де - не визначена поки що функція від Диференціюючи це співвідношення по і враховуючи, що знаходимо звідки тоді маємо Отже, загальний інтеграл є

7. Розв’язати рівняння

Позначимо Знайдемо Маємо Відповідно ліва частина рівняння не є повним диференціалом. Розглянемо, чи не допускає це рівняння інтегруючий множник, залежний тільки від Зауваживши, що робимо висновок, що рівняння допускає інтегруючий множник, залежний тільки від Знаходимо його: звідки тобто Після домноження всіх членів даного рівняння на знайдений інтегруючий множник отримаємо рівняння у повних диференціалах. Розв’язуючи це рівняння, знайдемо його загальний інтеграл

8. Знайти загальний і особливий інтеграли рівняння

Загальний інтеграл отримуємо, замінюючи на Для отримання особливого розв’язку диференціюємо останнє рівняння по Особливий розв’язок отримується у параметричному вигляді (де параметром виступає Виключивши параметр можна отримати особливий розв’язок у вигляді

9. Розв’язати рівняння

Поклавши , будемо мати диференціюючи по , отримаємо, що Знайдемо особливі розв’язки. Оскільки при то розв’язками будуть лінійні функції тобто та Чи будуть ці функції частинними чи особливими розв’язками, ми побачимо, знайшовши загальний інтеграл. Для його знаходження запишемо останнє рівняння у вигляді: і будемо розглядати як функцію залежної змінної Інтегруючи це лінійне (відносно ) рівняння, знайдемо Виключаючи із двох рівнянь, отримаємо загальний інтеграл Особливим інтегралом вихідного рівняння буде оскільки він не отримується з загального ні при якому значенні Функція же не є особливим, а частинним розв’язком; вона отримується із загального розв’язку при

10. Знайти загальний інтеграл рівняння

Покладемо розглядаючи як функцію від Тоді і ми отримуємо рівняння першого порядку для допоміжної функції Інтегруючи це рівняння, знаходимо або Але тоді для визначення отримаємо рівняння або звідки Для обчислення останнього інтегралу зробимо підстановку тоді звідки Відповідно Отримаємо

11. Знайти загальний інтеграл і частинний розв’язок рівняння що задовольняє початковим умовам

Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені Відповідно загальний інтеграл є Знайдемо частинний розв’язок, що задовольняє даним умовам і визначимо відповідні значення На основі першої умови знаходимо: звідки Зауважимо, що із другої умови отримаємо тобто Отже, шуканий частинний розв’язок

12. Розв’язати рівняння

Характеристичне рівняння має вигляд Знаходимо корені характеристичного рівняння Загальний інтеграл

13. Розв’язати рівняння

Запишемо характеристичне рівняння Коренями є Тоді загальний інтеграл буде

14. Знайти загальний розв’язок рівняння

Знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння Оскільки то звідки Отже, Щоб останній вираз був розв’язком даного рівняння, треба визначити як функції від із системи Розв’язуючи цю систему, знаходимо звідки в результаті інтегрування отримаємо Підставляючи знайдені функції у формулу отримаємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння або

15. Розв’язати рівняння

Характеристичне рівняння має корені тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо у формі тоді

Тоді маємо Отже, загальний інтеграл даного рівняння

16. Розв’язати рівняння

Права частина рівняння має вигляд причому Характеристичне рівняння має корені Загальний розв’язок однорідного рівняння є Оскільки число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукати у вигляді тоді Отримаємо Тоді загальний розв’язок