Лінійні однорідні та неоднорідні рівняння 2-го порядку.

1.10. Розглянемо лінійні однорідні рівняння (ЛОР) та неоднорідне лінійне рівняння (ЛНР) другого порядку.

Розглянемо ЛОР з сталими коефіцієнтами (1) де і - сталі дійсні числа. Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, досить знайти два лінійно-незалежних частинних розв’язки. Будемо шукати частинні розв’язки у вигляді , де (2) Тоді Підставляючи отримані вирази похідних у рівняння (1) знаходимо Оскільки тому (3)

Відповідно, якщо буде задовольняти рівняння (3), то буде розв’язком рівняння (1). Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням по відношенню до рівняння (1). Характеристичне рівняння є квадратним, що має два кореня; позначимо їх через При цьому

Можливі наступні випадки:

1. - дійсні і причому

2. - комплексні числа.

3. - дійсні рівні числа

Розглянемо кожен із цих випадків.

1. У цьому випадку частинними розв’язками будуть функції Ці розв’язки лінійно незалежні, так як Відповідно, загальний інтеграл має вигляд

2. Так як комплексні корені входять попарно спряженими, то позначимо де Частинні розв’язки можна записати у формі (4)

Це комплексні функції дійсного аргументу, що задовольняє диференціальне рівняння (1). Очевидно, що якщо яка-небудь комплексна функція дійсного аргументу (5) задовольняє рівняння (1), то цьому рівнянню задовольняють функції і . Дійсно, підставляючи вираз (5) у рівняння (1), будемо мати або але комплексна змінна рівня нулю тоді і тільки тоді, коли рівні нулю дійсна і уявна частини, тобто Ми довели, що та є розв’язками рівняння. Перепишемо комплексні розв’язки (4) у вигляді суми дійсної і уявної частини: Частинними розв’язками рівняння (1) будуть дійсні функції

Функції - лінійно незалежні, так як Відповідно, загальний розв’язок рівняння (1) у випадку комплексних коренів характеристичного рівняння має вигляд або (7) де - довільні сталі.

Важливим частинним випадком розв’язку (7) є випадок, коли коренів характеристичного рівняння чисто уявні. Це має місце тоді, коли у рівняння (1) ,і воно має вигляд Характеристичне рівняння (3) набуває вигляду Корені його тоді розв’язок (7) набуває вигляд:

3. Корені характеристичного рівняння дійсні та рівні. У цьому випадку Один частинний розв’язок отримується на основі попередніх міркувань. Треба знайти другий частинний розв’язок, лінійно незалежний із першим. Будемо шукати його у вигляді де - невідома функція, належна означенню. Диференціюючи, знаходимо Підставляючи вираз похідних у рівняння(1), отримаємо Так як - кратний корінь характеристичного рівняння, то Крім того, або Відповідно для того, щоб знайти треба розв’язати рівняння або Проінтегрувавши, отримаємо Частково можна покласти тоді Таким чином, в якості другого частинного розв’язку можна взяти Цей розв’язок лінійно-незалежний з першим, так як Тому загальним інтегралом буде функція

Нехай маємо неоднорідне лінійне рівняння другого порядку (1)

Структура його загального розв’язку визначається наступною теоремою:

Теорема 1: загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) представляється як сума якогось частинного розв’язку цього рівняння і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (2)

Доведення: треба довести, що сума (3) є загальний розв’язок рівняння (1). Підставляючи суму в рівняння (1) замість , маємо або (4)

Так як є розв’язком рівняння (2), то вираз у перших дужках Так як є розв’язком рівняння (1), то вираз у других дужках рівний Відповідно рівність (4) є тотожністю. Таким чином перша частина теореми доведена.

Доведемо тепер, що вираз (3) є загальним розв’язком рівняння (1), тобто доведемо, що його довільні сталі можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови якими б не були числа та (тільки б було взято з тієї області, де функції та неперервні). Зауваживши, що можна представити у вигляді , де - лінійно незалежні розв’язки рівняння (2), а - довільні сталі, можна переписати рівність (3) у вигляді: ( ) Тоді на основі умов (5) будемо мати З цієї системи рівнянь треба визначити Перепишемо систему у вигляді (6) зауважимо, що визначник для цієї системи є визначник Вронського для функцій і в точці Так як за умовою ці функції лінійно незалежні, то вронскіан не дорівнює нулю; відповідно існують такі значення при яких формула (3) визначає розв’язок рівняння (1), що задовольняє початкові умови. Теорему доведено.

Укажемо загальний метод знаходження частинних розв’язків неоднорідного рівняння. Розглянемо метод варіації довільних сталих. Запишемо загальний розв’язок однорідного рівняння (2): (7)

Будемо шукати частинний розв’язок неоднорідного рівняння (1) у формі (7) , розглядаючи як деякі поки невідомі функції від Продиференціюємо рівність (7): Підберемо шукані функції так, щоб виконувалася рівність (8)

Якщо врахувати цю додаткову умову, то Диференціюючи цей вираз, знайдемо Підставляючи в рівняння (1), отримаємо або Вираз у перших дужках перетворюється в нуль, так як - розв’язки однорідного рівняння. Відповідно остання рівність прийме вигляд: (9)

Таким чином, функція (7) буде розв’язком неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції задовольняють системі рівнянь (8) і (9), тобто якщо Так як визначником цієї системи є вронскіан для лінійно незалежних розв’язків рівняння (2), то він не рівний нулю; відповідно розв’язуючи систему, ми знайдемо як визначені функції від Інтегруючи, отримаємо де - сталі інтегрування. Підставляючи отримані вирази у рівність (7), знайдемо інтеграл, залежний віл двох довільних сталих тобто загальний розв’язок неоднорідного рівняння (якщо то отримаємо частинний розв’язок рівняння (1)).

Теорема 2: розв’язок рівняння можна подати у вигляді суми де - розв’язки рівнянь

Доведення: додаючи останні два рівняння, маємо Із останньої рівності і випливає, що сума є розв’язком вихідного рівняння. Теорему доведено.

Розглянемо не однорідне лінійне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Нехай маємо рівняння: (1) де - дійсні числа. Раніше було розглянуто загальний метод знаходження розв’язку неоднорідного рівняння. І випадку рівняння із сталими коефіцієнтами частинний розв’язок іноді буває можливим знайти не інтегруючи. Розглянемо декілька таких можливостей для рівняння (1).

1. Нехай (2) де - многочлен го степеня. Тоді можливі наступні частинні випадки:

а) число не є коренем характеристичного рівняння У цьому випадку частинний розв’язок треба шукати у вигляді (3)

Дійсно, підставляючи у рівняння (1) будемо мати: (4)

- многочлен степеня , - многочлен степеня , - многочлен степеня Таким чином, зліва і справа від знака рівності стоять многочлени степеня Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях ( число невідомих коефіцієнтів рівне ) отримаємо систему рівнянь для визначення

б) число є однократний корінь характеристичного рівняння. Якщо частинний розвязок шукати у формі (3), то у рівності (4) зліва отримаємо многочлен степеня так як коефіцієнт при тобто рівний нулю, а многочлени і мають степінь менший за Відповідно, при жодних рівність (4) не буде тотожністю. Тому у даному випадку частинний розв’язок треба брати у вигляді многочлена -го степеня, але без вільного члена(так як вільний член цього многочлена зникне при диференціюванні). Тоді маємо

в) число є двократним коренем характеристичного рівняння. Тоді в результаті підстановки у диференціальне рівняння функції степінь многочлена понизиться на дві одиниці. Дійсно, якщо - корінь характеристичного рівняння, то крім того, так як - двократний корінь, то (так як сума коренів зведеного квадратичного рівняння рівна коефіцієнту при невідомому в першій степені, взятому з протилежним знаком). Таким чином Відповідно, в лівій частині рівності (4) залишиться тобто многочлен степеня , треба частковий розв’язок шукати у вигляді

2. Нехай права частина має вигляд (5)

де -многочлени. Цей випадок можна розглянути прийомом, використаним раніше. Змінюючи і за формулами Ейлера через показникові функції, отримаємо (6)

Таким чином, форма частинного розв’язку визначається так:

а) якщо число не є коренем характеристичного рівняння , то частинний розв’язок рівняння (1) треба шукати у вигляді (7) де - многочлени, степінь яких рівний найбільшому степеню многочленів

б) якщо число є коренем характеристичного рівняння, то частинний розвязок шукається у вигляді: (8)

Розглянемо частинний випадок, коли ( ) де - сталі.

а) якщо не ж коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок треба шукати у вигляді ( )

б) якщо є коренем характеристичного рівняння, то .( )

Відмітимо, що функція ( ) є частинним випадком функції (7)

( ); функція ( ) і ( ) - функція (5) і (8).