Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі.

6. Означення: лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції і її похідної. Воно має вигляд (1) де і - задані неперервні функції від (або сталі). Розв’язок рівняння (1)будемо шукати у вигляді добутку двох функцій від : (2). Одну із цих функцій можна взяти довільною, а друга визначається на основі рівняння (1). Продиференціювавши обидві частини рівності (2), знаходимо Підставляючи отриманий вираз похідної у рівняння (1), будемо мати, що або (3).

Виберемо функцію таку, щоб (4)

Відокремлюючи змінні в цьому диференціальному рівнянні відносно функції , знаходимо Проінтегрувавши, отримаємо або Оскільки нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв’язку рівняння (4), то за функцією візьмемо (5) де - деяка первісна. Очевидно, що

Підставляючи отримане значення у рівняння (3), отримаємо (враховуючи, що ), або звідки маємо Підставляючи і у формулу (2), остаточно отримаємо або (6)

Зауваження: очевидно, що вираз (6) не зміниться, якщо замість функції , визначеної рівністю (5), ми візьмемо яку-небудь функцію Дійсно, підставляючи у (6) замісить , отримаємо У першому доданку добуток є довільна стала, яку позначимо однією літерою , і знову приходимо до виразу (6). Якщо позначити то вираз (6) набуде вигляду Очевидно, що це загальний інтеграл, так як можна підібрати так, що буде задовольнятися початкову умову при . Значення визначається з рівняння

Зауваження: часто зустрічаються лінійні рівняння з сталими коефіцієнтами (7) де і - сталі. Його можна розв’язувати за допомогою підстановки (2) або шляхом відокремлення змінних: де або остаточно маємо (де позначено ). Це і є загальний розв’язок рівняння (7).

Розглянемо рівняння виду (8) де і - неперервні функції від (або сталі), а (інакше отримаємо лінійне рівняння). Це рівняння, що називається рівнянням Бернуллі, зводиться до лінійного наступними перетвореннями. Розділивши усі члени рівняння на , отримаємо (9)

Зробимо заміну виду Тоді Підставляючи ці значення у рівняння (9), будемо мати лінійне рівняння Знайшовши його загальний інтегралі підставивши замість вираз знайдемо загальний інтеграл рівняння Бернуллі.

_{Зауваження: аналогічно} до того, як це робиться для лінійних рівнянь, можна показати, що розв’язок рівняння Бернуллі можна шукати у вигляді добутку двох функцій де - деяка функція, відмінна від 0 і задовольняє рівняння

Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник.

7. Означення: рівняння (1) називається рівнянням у повних диференціалах, якщо і - неперервні диференційовані функції, для яких виконується співвідношення (2) причому неперервні в деякій області. Розглянемо інтегрування рівнянь в повних диференціалах. Доведемо, що якщо ліва частина рівняння (1) є повний диференціал, то виконується умова (2), і навпаки – при виконанні умови (2) ліва частина рівняння (1) є повним диференціалом деякої функції , тобто рівняння (1) має вигляд (3) і, відповідно, його загальний інтеграл є

Покладемо спочатку, що ліва частина рівняння (1) є повний диференціал деякої функції тобто тоді (4)

Продиференціювавши перше співвідношення по , а друге – по , отримаємо Вважаючи неперервність других похідних, будемо мати тобто рівність (2)є необхідною умовою для того, щоб ліва частина рівняння (1) була повним диференціалом деякої функції Покажемо, що ця умова є і достатньою, тобто при виконанні рівності (2) ліва частина рівняння (1) є повним диференціалом деякої функції Із співвідношення знаходимо де - абсциса довільної точки із області існування розв’язку. При інтегруванні по ми вважаємо сталим і тому довільна стала інтегрування може залежати від підберемо функцію так, щоб виконувалося друге із співвідношень (4). Для цього диференціюємо (інтеграл залежить від . Для того, щоб знайти похідну від цього інтеграла по , треба про диференціювати по підінтегральну функцію: Це витікає із теореми Лейбніца про диференціювання визначеного інтегралу по параметру) обидві частини останньої рівності по і результат прирівняємо до :

але так як то мажемо записати тобто або Відповідно або Таким чином, функція буде мати вигляд Тут точка - це точка, в околі якої існує розв’язок диференціального рівняння (1). Прирівнявши цей вираз до довільної сталої , отримаємо загальний інтеграл рівняння (1): (5)

Нехай ліва частина рівняння(1) не є повним диференціалом. Іноді вдається підібрати таку функцію , після множення на яку всіх членів рівняння ліва частина рівняння стає повним диференціалом. Загальний розв’язок отриманого таким чином рівняння співпадає з загальним розв’язком вихідного рівняння; функція називається інтегруючим множником рівняння (1). Для того, щоб знайти інтегруючий множник , зробимо наступне: помножимо обидві частини даного рівняння на невідомий поки що інтегруючий множник Для того, щоб останнє рівняння було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб виконувалося співвідношення тобто або Після ділення обох частин останнього рівняння на , отримаємо: (6)

Очевидно, що будь-яка функція , яка задовольняє останнє рівняння, є інтегруючим множником рівняння (1). Рівняння (6) є рівнянням у частинних похідних з невідомою функцією , що залежить від двох змінних та У загальному випадку задача знаходження з рівняння (6) ще важче, за першопочаткову задачу інтегрування рівняння (1). Тільки в деяких частинних випадках вдається знайти функцію Нехай, наприклад, рівняння (1) допускає інтегруючий множник, який залежить тільки від Тоді і для відшукання ми отримаємо звичайне диференціальне рівняння із якого визначається (однією квадратурою) , а відповідно і Очевидно, що так можна робити тільки в тому випадку, якщо вираз не залежить від Аналогічно, якщо вираз не залежить від а залежить тільки від то легко знаходиться інтегруючий множник, що залежить від На практиці часто застосовується такий прийом: всі члени рівняння розбиваються на дві групи, для кожної з яких було б легко знайти інтегруючий множник, знаходиться вираз найбільш загального інтегруючого множника для кожної групи і вибрати довільні функції, що входять у ці вирази так, щоб обидва інтегруючих множників біли рівними.