Рівняння з відокремлюваними змінними

4. Розглянемо диференціальне рівняння виду (1) де права частина є добутком функцій, одна з яких залежить тільки від , друга – тільки від , перетворимо його наступним чином (вважаючи, що ): ( ) Вважаючи, що - відома функція від , рівність ( ) можна розглядати як рівність двох диференціалів, а невизначені інтеграли від них будуть різнитися сталим доданком. Інтегруючи ліву частину по , а праву по , знайдемо .( ) Отримали співвідношення, що показує розв’язок , незалежну змінну і довільну сталу , тобто отримали загальний інтеграл рівняння (1). Диференціальне рівняння типу ( ) (2) називається рівнянням з відокремленими змінними. Загальний інтеграл його за доведенням є . Рівняння виду .(3) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Воно може бути зведене (ці перетворення можна проводити тільки в тій області, де ні , ні не перетворюються в 0) до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом ділення обох частин на вираз :

або тобто рівняння виду (2). Зауваження: найпростішим диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними є рівняння виду або Його загальний інтеграл має вигляд .

Однорідні рівняння 1-го порядку та рівняння, що до них зводяться

5. Означення: функція називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних та , якщо при будь-якому справедлива тотожність

Означення: рівняння першого порядку називається однорідним відносно і , якщо функція є однорідною нульового виміру відносно і . Розглянемо розв’язання однорідного рівняння. За умовою Поклавши у цій тотожності , отримаємо тобто однорідна функція нульового виміру залежить лише від відношення аргументів. Диференціальне рівняння у цьому випадку набуде вигляду . Зробимо підстановку у вигляді , тобто Тоді маємо, що Підставляючи цей вираз похідної у попереднє рівняння, отримаємо Це рівняння з відокремлюваними змінними: або Інтегруючи останній вираз, знайдемо або Підставляючи після інтегрування замість відношення , отримаємо інтеграл рівняння Розглянемо рівняння, що зводяться до однорідних. До таких рівнянь відносяться рівняння виду (1) Якщо , то рівняння (1), очевидно, однорідне. Нехай тепер і (або одна з них) відмінні від нуля. Зробимо заміну змінних (2) Тоді Підставляючи у рівняння (1) вирази та будемо мати (3)

Підберемо і таким чином, щоб виконувалися рівності

(4)

Тобто визначимо і як розв’язки системи рівнянь (4). При цій умові рівняння (3) стає однорідним:

Розв’язавши це рівняння і повернувшись знову до та за формулами (2), отримаємо розв’язок рівняння (1). Система (4) не має розв’язку, якщо

тобто Але в цьому випадку тобто і, відповідно, рівняння (1)можна перетворити до вигляду (5)

Тоді підстановкою (6) рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно звідки маємо (7)

Підставляючи в рівняння (5) вирази (6) і (7), отримаємо: а це і є рівняння з відокремлюваними змінними. Прийом, застосований до інтегрування рівняння (1), застосовується і до інтегрування рівняння де - яка завгодно неперервна функція.