Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

2. Розглянемо декілька задач, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

1. Візьмемо приклад з механіки. Дослідимо рух точки mпо вертикальній прямій під дією сили земного тяжіння. За вісь Оу приймемо вертикальну пряму, по якій рухається (падає) точка; початок розмістимо на поверхні землі, а додатній напрям домовимося відраховувати вгору.

Щоб знати рух, тобто положення нашої точки в довільний момент t після початку руху (що відповідає значенню ), треба знати вираз єдиної координати цієї точки у як функції . Таким чином у нас незалежною змінною є t, а шуканою функцією у. Складемо рівняння для знаходження у. із механічного змісту другої похідної випливає, що прискорення дорівнює ; з другого боку, відомо, що прискорення сили тяжіння у кожній точці земної поверхні та поблизу неї стале і (приблизно) рівне 981 см/с², воно позначається літерою ; воно направлено вниз, відповідно у нашій системі координат йому треба надати знак - . Прирівнявши два знайдених вирази для прискорення точки, отримаємо рівняння, в кому невідомою є функція : .

2. Вода витікає через отвір7 на дні циліндричної посудини. За яким законом буде знижуватися рівень води у посудині з плином часу, якщо відомо, що швидкість vвитікання речовини з отвору залежить від висоти hстовпця речовини наступним чином:

.

Позначимо через висота посудини, – площа його основи, – площа отвору і – висота рідини у посудині в момент часу . Протягом часу від до висота рівня посудини знизиться від до , . За цей час із посудини витече об’єм води рівний - . Таким же повинен бути об’єм струї речовини, що витекла за цей час з отвору. Він рівний площі , помноженої на довжину шляху , що проходить частина речовини з моменту до . Рух її не рівномірний: в момент t швидкість , а в момент . Для обрахунку довжини пройденого шляху скористаємося середньою швидкістю: , де , ( ). Таким чином ми приходимо до співвідношення: - . Звідси маємо, що , де . Переходячи до границі при , отримуємо диференціальне рівняння нашої задачі: .

3. Гнучка однорідна нитка підвищена за два кінці. Знайти рівняння кривої, по якій розміститься нитка під дією власної ваги (так розміщуються підвісні канати, проводи).

Нехай –найбільш низька точка нитки, – її довільна точка. Розглянемо частину нитки . Ця частина знаходиться у рівновазі під дією трьох сил: сила натягу , що діє по дотичній у т. і складає з віссю Ох кут ; сила натягу у т. , що діє горизонтально; вага нитки , направлена вертикально вниз, де - довжина дуги , – лінійна вага нитки. Розклавши натяг на горизонтальну та вертикальну складові, отримаємо рівняння рівноваги: . Поділивши другу рівність на першу, отримаємо: . Покладемо тепер, що рівняння шуканої кривої можна записати у вигляді . Тут – невідома функція, яку треба знайти. Зауважимо, що . Відповідно приходимо до диференціального рівняння виду , де .

4. Установлено, що швидкість розпаду радія прямо пропорційна його кількості в кожний момент. Визначити закон зміни маси радію в залежності від часу.

Швидкість розпаду визначається наступнім чином. Нехай у момент була маса в момент ( ) – маса ( ). За час розпалась маса . Відношення є швидкістю (середня) розпаду. Границя цього відношення при є швидкістю розпаду радія в момент . За умовою задачі , де – коефіцієнт пропорційності. , бо з плином часу маса радію зменшується.