Міністерство освітиі науки України

Полтавський національний педагогічний університет ім. В. Г. Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математичного

аналізу та інформатики

курсова робота:

Звичайні диференціальні рівняння

1-го та 2-го порядку

Виконала студентка

Групи М-41

Дема Софія

Науковий керівник

Проф. Мельниченко О.С.

Полтава-2014

Зміст

Вступ

1. Звичайні диференціальні рівняння 1-го та 2-го порядку

   1. Історичний обрис розвитку теорії диференціальних рівнянь.

   2. Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

   3. Основні поняття. Теорема існування та єдності.

   4. Рівняння з відокремлюваними змінними.

   5. Однорідні рівняння 1-го порядку та рівняння, що до них зводяться.

   6. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі.

   7. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник.

   8. Рівняння Клеро та Лагранжа.

   9. Деякі типи диференціальних рівнянь 2-го порядку, що зводяться до рівнянь 1-го порядку. Графічний метод інтегрування.

   10. Лінійні однорідні та неоднорідні рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами.

   11. Збірник задач. Типові помилки.

Висновок

Література

Вступ

Математик – це той, хто вміє знаходити

Аналогію між твердженнями; кращий ма-

тематик той, хто встановлює аналогії до-

ведень; більш сильний математик той, хто

помічає аналогії теорій; але можна

представити собі і такого, хто між

аналогіями бачить аналогії.

Стефан Банах

Сучасна теорія диференціальних рівнянь посідає чільне місце серед інших математичних дисциплін. Гармонійне поєднання теоретичного та прикладного аспектів робить її однаково привабливою і цікавою як для суто математиків, так і для тих, хто займається застосуванням математики в різноманітних галузях знань. Механіка, фізика, радіо електрика, хімія, біологія, економіка, машинобудування – це далеко не повний перелік наук, у яких знаходять широке використання диференціальні рівняння.

Мета даної роботи – поглибити знання з теорії диференціальних рівнянь 1-го та 2-го порядку; систематизувати і узагальнити матеріал по даному питанню. Для досягнення мети були поставлені такі задачі: розглянути основні види диференціальних рівнянь 1-го та 2-го порядку та методи їх розв’язування, підібрати короткий збірник задач, в яких розглядається дане питання та дати деякі типові розв’язки диференціальних рівнянь, розглянутих у даній роботі.

Історичний обрис розвитку теорії диференціальних рівнянь

1. З задачами, що відносяться до теорії диференціальних рівнянь (з використанням терміну), математики зустрілися на кордоні XVI-XVII ст.ст., - вперше вірогідно, в області обчислювальної математики, при створенні логарифмічних таблиць. З робіт І. Ньютона (1642-1727рр) та І.В. Лейбніца (1646-1716) починається перший період історії диференціальних рівнянь, що охоплюють останню чверть XVII та все XVIII ст.ст.

Вивчення проблем динаміки точки і твердого тіла, а також деяких геометричних задач методами диференціального та інтегрального числення призвело до виділення найпростіших класів звичайних рівнянь 1-го та 2-го порядків. У перші половині XVIII ст. диференціальні рівняння стають основною зброєю не тільки в механіці, а і у диференціальній геометрії та варіаційному численні. Теорія диференціальних рівнянь першопочатково розвивалася всередині математичного аналізу і лише згодом виділилася у особливу математичну науку. Термін “диференціальні рівняння” у використання ввів Лейбніц(вперше у листі до Ньютона(1676р7.), а потім у печаті, починаючи з 1684р .).Значний внесок у розвиток теорії зробили брати Я. Бернуллі (1654-1705рр.) та І. Бернуллі (1667-1748рр.). У подальшій розробці теорії диференціальних рівнянь прийняли участь видатні вчені XVIII ст. Особливо великий внесок петербургського академіка Л. Ейлера (1707-1765рр.). а по тім французьких математиків А. Клеро (1713-1765рр.), Ж. Даламбер (1717-1783рр.), Ж.Л.Лагранжа (1736-1813рр.). Перша чверть XIX ст. стала переломною епохою у розвитку всієї математики. Перш за все, корінній перебудові піддався фундамент математичного аналізу, нові ідеї і методи якого вплинули і на розвитоктеорії диференціальних рівнянь. Була поставлена загальна проблема існування розв’язків диференціальних рівнянь. Точне формулювання і точне рішення цієї задачі для досить широкого класу випадків належало Коші. У другій половині XIX і на початку XX ст.ст. особливої уваги заслуговують два нових напрямки в розвитку звичайних диференціальних рівнянь. Один з них пов'язаний був з розвитком понять теорії груп, а другий – з вивченням деяких задач небесної механіки, астрономії. Важливою віхою в історії диференціальних рівнянь у цей час є створення якісної теорії, яка була одночасно створена А. Пуанкаре (1854-1912рр.) і А.М. Ляпуновим (1857-1918рр.). Вагомим були досягнення радянських математиків у розвитку теорії диференціальних рівнянь. У загальній теорії інтегральних кривих, що визначаються звичайними диференціальними рівняннями, П. С. Александров і В.В. Немицький дали нове доведення теореми Пеано. Тихонов подав новий приклад послідовних наближень, що знайшов широкий простір використання. Краєві задачі лінійних диференціальних рівнянь розробив у Одесі М. Г. Крейн. Наближені методи з давніх часів притягували увагу багатьох вчених , зокрема Ейлера, Лобачевського (алгебраїчні рівняння) і, особливо, Чебишева та його учнів. Оригінальний виклад прийомів чисельного інтегрування диференційованих рівнянь, розроблених у XIX ст., дав у 1917-1918 рр. акад. А. Н. Крилов (1863-1945рр.) У ці часи розділ нашої теорії був збагачений рядом значних відкриттів, важливих для практичних застосувань. Перш за все треба відмітити варіаційні методи(Л. В. Канторович). Ряд нових прийомів був отриманий і з допомогою заміни диференціального рівняння рівнянням у кінечних різницях, якою, по суті, користувався ще Ейлер (Л. А. Люстерник, Крилов, Боголюбов, Д.Ю. Панов, Ш. Е. Микеладзе та інші). Новий важливий метод чисельного інтегрування звичайного рівняння y`=f(x,y) з допомогою побудови двох функцій, що наближують розв’язок знизу і зверху, був запропонований акад. Чаплигіним (1869-1942рр.). Нарешті, в останні роки отримали розвиток теорія і конструювання механічних і електричних приборів для інтегрування диференціальних рівнянь. Різних типів, яким, безперечно, належить блискуче майбутнє (І. С. Брук, А І. Гутенмахер, Люстерник та інші).