3. Исследование модели 1

Рассмотрим модель, передаточная характеристика которой имеет вид:

Так как степень полинома числителя равна 0, то коэффициенты полинома знаменателя равны площадям соответственно:

Таким образом, передаточная характеристика примет вид:

Или с учетом времени запаздывания:

Проверим устойчивость системы с помощью критерия Гурвица

;

;

.

Т.к. диагональные определителя Гурвица больше нуля то система устойчива.

Определим корни характеристического полинома.

Имеем характеристический полином 3-го порядка :

Корни характеристического полинома:

Определим вид теоретической переходной кривой, выполнив обратное преобразование Лапласа в среде MathCAD 14:

Сравним графики теоретической и экспериментальной переходной кривой без учета времени запаздывания (см. рисунок 2)

Рисунок 2 - Графики теоретической и экспериментальной переходных кривых

4. Исследование модели 2

Рассмотрим модель, передаточная характеристика которой имеет вид:

Подставив известные данные, получим:

Или с учетом времени запаздывания:

Проверим устойчивость системы с помощью критерия Гурвица:

;

Т.к. диагональные определителя Гурвица больше нуля то система устойчива.

Определим корни характеристического полинома.

Имеем характеристический полином 2-го порядка :

Корни характеристического полинома:

Выполнив обратное преобразование Лапласа в среде MathCAD 14, получим переходную характеристику:

Для проверки найденной теоретической переходной функции и для ее сравнения с экспериментальной построим графики обеих функций (см. рисунок 3)

Рисунок 3 - Графики теоретической и экспериментальной переходных кривых

В качестве рабочей примем модель № 1, имеющей передаточную характеристику вида:

5. Построение нормальной афх рабочей модели объекта

Выделив действительную и мнимую часть, строим нормальную АФХ (см. рисунок 4):

Таблица 3 – Значения АФХ для различных значений w

w, мин-1	1	2
Re(W(jw))	192,493	-414,239
Im(W(jw))	-823,733	-281,004

Рисунок 4 – Нормальная АФХ рабочей модели объекта

Покажем, как ведет себя АФХ вблизи точки (-1,j0) (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Нормальная АФХ рабочей модели объекта вблизи точки (-1,j0)

Таким образом, построенная АФХ объекта свидетельствует о неустойчивости заданной модели (в этом случае по критерию Найквиста система устойчива, если не охватывает точку (-1;j0)). Для приведения системы к устойчивому состоянию используем законы регулирования.

6. Выбор законов регулирования

Воспользуемся соотношением , где - время переходного процесса.

Так как экспериментальная переходная кривая задана дискретно, то для нахождения используем формулу промежуточного значения функции при дискретном распределении:

,

где a=136 мм, b=143 мм, =6.5 мм,

Получим:

Или с учетом времени запаздывания:

Следовательно, .

Минимальное значение времени регулирования для различных регуляторов при оптимальных настройках может определяться следующей таблицей (см. таблицу 4)

Таблица 4 – Характеристики регуляторов

Закон регулирования	П	ПИ	ПИД
	6,5	12	7

Для исследования будем использовать ПИ и ПИД законы регулирования

где K₀= K/T_и; K₁= K; K₂= KT_Д/T_и; (в данном случае значение K может представлять собой в зависимости от используемого регулятора значения K_ПИ или K_ПИД).

7. ПИ-закон регулирования

Передаточная характеристика в общем виде имеет вид::

Построим область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора (см. рисунок 6). Кривая Д-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива:

В общем случае уравнение границы области устойчивости имеет вид:

W_р(s) W(s) + 1 = 0, где W_р – передаточная функция регулятора.

В нашем случае это выражение примет вид:

Используя программное обеспечение MathCAD 14 получаем, что коэффициенты K₀ и K₁ определяются, соответственно, выражениями:

Рисунок 6 – Область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора

Далее построим в плоскости параметров настроек кривую равного значения показателя колебательности M = M_зад = 1.2 (см. рисунок 7)

Рисунок 7 – Кривая равного значения показателя колебательности

M = M_зад = 1.2

Для определения оптимальных настроек регулятора по кривой равного значения определим максимально отношение K₀= K_ПИ/T_и (изодромы):

Следовательно, оптимальные параметры ПИ-регулятора: .

Передаточная функция автоматической системы регулирования с ПИ-регулятором:

АФХ разомкнутой АСР с ПИ-регулятором (см. рисунок 8):

Выделив действительную и мнимую части АФХ при помощи приложения Mathcad 14, получим:

Таблица 5 – АФХ разомкнутой АСР с ПИ-регулятором

, мин-1	0,5	1,5
	-0,556	-0,541
	-1,707	-0,256

Рисунок 8 – АФХ разомкнутой АСР с ПИ-регулятором

Построим АЧХ замкнутой системы с ПИ-регулятором по задающему воздействию (см. рисунок 9):

Рисунок 9 – АЧХ замкнутой АСР с ПИ-регулятором по задающему воздействию

8. ПИД-закон регулирования

Передаточная характеристика в общем виде имеет вид:

Построим область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора (см. рисунок 10). Кривая Д-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива:

Уравнение границы области устойчивости имеет вид:

При исследовании ПИД регулятора значение коэффициента воздействия по производной примем равным . При помощи приложения MathCAD 14 получили выражения для коэффициентов K₀ и K₁:

+

Рисунок 10 – Область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИД-регулятора

Далее строим в плоскости параметров настроек кривую равного значения показателя колебательности M = M_зад = 1.2 (см. рисунок 11)

Рисунок 11 – Кривая равного значения показателя колебательности

M = M_зад = 1.2

Для определения оптимальных настроек регулятора по кривой равного значения определим максимально отношение K₀= K_ПИД/T_и (изодромы):

Следовательно, оптимальные параметры ПИД-регулятора: ; ; .

Таким образом, передаточная функция автоматической системы регулирования с ПИ-регулятором будет представлять собой следующее выражение:

Построим АФХ разомкнутой АСР с ПИД-регулятором (см. рисунок 12):

Выделив действительную и мнимую части АФХ при помощи приложения Mathcad 14, получим:

Таблица 6 – АФХ разомкнутой АСР с ПИД-регулятором

, мин-1	0,5	1,5
	1,05546	0,68484
	-1,10045	-1,45842

Рисунок 12 – АФХ разомкнутой АСР с ПИД-регулятором

Построим АЧХ замкнутой системы с ПИД-регулятором по задающему воздействию (см. рисунок 13):

Рисунок 13 – АЧХ замкнутой АСР с ПИД-регулятором по задающему воздействию