3. Декомпозиция и агрегирование в системном моделировании

Декомпозиция - научный метод, при котором исследование системы (модели) в целом заменяется исследованием отдельных её подсистем (отдельных моделей), проводимый с учётом их взаимного влияния друг на друга, и по возможности полным отражением при этом целостных свойств системы.

Различают неформальную и формальную декомпозицию, т.е. проводимую с применением математических средств. Неформальная декомпозиция по существу должна предшествовать исследованию любой сложной системы. Например, при создании автоматизированных систем управления выделяются аспекты технологической, технической, организационной и математико-информационной структур.

В идеальном случае при декомпозиции обнаруживается, что система может быть представлена несколькими независимыми друг от друга подсистемами. Но этот случай следует рассматривать как исключительный, вырожденный, и основная задача декомпозиции состоит не только в расчленении системы на подсистемы, но и в сравнительном учёте взаимодействия последних. Основные ошибки, связанные с применением декомпозиционного подхода, связаны именно с недостаточно полным или неправильным учётом указанного взаимодействия.

Декомпозиционный подход тесно связан с другим подходом к преодолению сложности и размерности, который получил название агрегирования или агрегатирования.

Агрегирование - метод системного исследования, при котором множества элементов некоторой модели заменяются элементами, называемыми агрегатами, на которых и строится агрегированная модель, имеющая, как правило, существенно меньшую размерность, чем исходная, но достаточно хорошо отражающая свойства системы в целом.

Методы декомпозиции и агрегирования имеют между собой глубокие связи. При анализе взаимодействия подсистем при декомпозиционном подходе последние рассматриваются как целостные образования - агрегаты.

С другой стороны, всякое построение агрегированной модели часто прямо или косвенно сопровождается декомпозицией, приводящей к разбиению всего множества вводимых в рассмотрение величин на блоки - агрегаты, на основе которых и строится такая модель.

Наиболее ярко методы агрегирования и декомпозиции выражены при имитационном моделировании. Обобщённое описание имитационной модели выглядит следующим образом:

S Í X Y, (4.4)

где X - множество входных воздействий; Y - множество выходных воздействий; S - заданное отношение. В свою очередь, множество X есть декартово произведение X = U*L, где U - множество непосредственно контролируемых (наблюдаемых) входных воздействий, а L - множество входных воздействий, о которых имеется только косвенная информация.

При аналитическом описании объекта моделирования отношение S задаётся, как правило, в явном виде с использованием алгебраических, интегро - дифференциальных и других функциональных соотношений или логических условий.

В имитационной модели объекта отношение S в большинстве случаев задаётся алгоритмически, т.е. только научный эксперимент на ЭВМ позволяет определить указанную зависимость. Таким образом, имитационные модели - это такие модели, с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать результат поведения реально существующего (или создаваемого) объекта. Для этого необходим машинный эксперимент с моделью на ЭВМ при заданных входных воздействиях.

Для реализации декомпозиции и агрегирования необходима иерархия моделей. Деление моделей по иерархическим уровням (уровням абстрагирования) происходит по степени детализации описываемых свойств и процессов, протекающих в объекте. При этом на каждом иерархическом уровне используют свои понятия "система" и "элементы". Так система K-го уровня рассматривается как элемент на соседнем более высоком (k-1)-м уровне абстрагирования.

Структуру некоторого объекта можно представить в виде множества элементов и связей между ними. Как правило, выделяется в структуре объекта некоторое подмножество элементов, называемых блоками. Пусть состояние каждой связи характеризуется одной фазовой переменной V_i, Z_j, или U_k. Здесь V_i относится к внутренним связям между элементами данного блока, Z_j, U_k относятся к выходам и входам соответственно.

Для функциональных моделей важны понятия полной модели и макромодели. Полная модель блока есть модель, составленная из моделей элементов с учётом межэлементных связей, т.е. модель, описывающая как состояние выходов, так и состояние каждого из элементов блока. Моделями элементов блока A являются уравнения, связывающие входные и выходные переменные:

f₁(V₁,U₁) = 0, f₂(V₁,U₂) = 0,

f₃(V₂,V₄,U₃) = 0, … , f₉(V₈,V₉,Z₂) = 0.

Полная модель блока есть система уравнений

F(V,U)=0, Z=y(V,U), (4.5)

где V, Z, U - векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока. При большом количестве элементов разрядность вектора V и порядок системы уравнений становятся чрезмерно большими и требуют упрощения.

При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V. Полученная модель представляет собой систему уравнений j(Z,U)=0 существенно меньшей размерности, чем полная модель, и называется макромоделью. Следовательно, макромодель уже не описывает процессы взаимодействия данного блока с другими в составе системы блоков.

В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру и используемого математического аппарата, приводит к образованию 3 укрупнённых уровней: микро-, макро- и мегауровня в иерархии функциональных моделей для большинства проектируемых сложных объектов.

f₁(V₁,U₁) = 0,

f₂(V₁,U₂) = 0,

f₃(V₂,V₄,U₃) = 0,

……………….

f₉(V₈,V₉,Z₂) = 0,

Полная модель блока есть система уравнений

F(V,U)=0, Z=(V,U)

где V,Z,U векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока.

Инженер-пользователь задает исходную информ ацию об анализируемом объекте и о проектных процедурах, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном языке программного комплекса. Ветви 1 на рис. 4 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи.

Рисунок 4 - Процесс преобразования ММ. ДУЧП — дифференциальные уравнения с частными производными; ОДУ — обыкновенные дифференциальные уравнения; АУ — алгебраические уравнения; ЛАУ — линейные алгебраические уравнения; 1...12 — взаимно направленные пути дискретизации переменных в ММ

Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; Алгебраизация — в замене производных алгебраическими соотношениями.

1. В.П. Корячко, В.М. Курейчик, И.П. Норенков. Теоретические основы САПР: Уч. для ВУЗов. –М.:Энергоиздат, 1987.-400с.

2. Б.А. Резников. Системный анализ и методы системотехники. Учебник. МО, 1990.-330 с.