2.1.6. Производные основных элементарных функций
Производная логарифмической функции
По определению
производной
Найдем приращение функции:
Тогда, пользуясь
тем, что
~
при х0,
в силу следствия ко второму спецпределу
получим:
Итак,
.
В силу правила дифференцирования сложной
функции:
.
В частности ,
.
2. Производная показательной функции y =ax.
По определению логарифмической функции функция y=ax имеет обратную x=logay.
Отсюда
,
то есть
.
Для сложного
аргумента:
.
В частности,
.
Замечание. Формула для производной показательной функции легко может быть получена и непосредственно:
Производная степенной функции y=х.
Поскольку
- произвольно, будем считать, что х>0.
Тогда, логарифмируя равенство y=х,
получим lny=lnx.
Продифференцируем обе его части:
.
Отсюда
или
Итак
.
Для сложного
аргумента
.
Можно показать, что если показатель таков, что функция y=х определена и при х0 или х<0, то формула ее производной сохраняется и для этих значений х.
Замечание.
Метод, предложенный для нахождения
,
называют методом логарифмического
дифференцирования. Его применяют при
вычислении производных произведений,
частных, степенно-показательных
выражений.
4. Производная функция y =s inx.
По определению производной:
Таким
образом,
.
Для сложного
аргумента
5. Производная функции y = cosx.
Аналогично
предыдущему легко получить
а для сложного аргумента
.
6. Производная функции y = tgx.
В силу формулы для
дифференцирования дроби имеем:
Итак,
,
.
Производная функции y = ctgx.
Аналогично предыдущему легко проверить, что:
,
.
Производная функции y = arcsinx.
По определению
функции
имеем:
.
Тогда
.
Но
.
Знак “+” перед корнем выбран по
определению функции arcsinx
(угол y
лежит в первой четверти). Таким образом,
и, следовательно,
.
Производная функции y = arccosx.
По определению
,
поэтому, дифференцируя обе части,
получим
.
Отсюда
,
а
.
Производная функции y = arctgx.
Аналогично п.8 получим:
.
Производная функции y = arcctgx.
Аналогично п.9 получаем:
