2.1.3. Геометрический смысл производной

Вернемся к задаче о касательной. Сравнивая формулы (1), (2) с определением производной, заключаем, что касательная и нормаль к кривой y = f(x)

в точке (x₀,y₀), y₀ = f(x₀) существуют тогда и только тогда, когда функция y=f(x) имеет производную в точке х₀. При этом уравнение касательной имеет вид: y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀) , а уравнение нормали: = - .

В последнем случае мы предполагаем y'(x₀)0.

Таким образом, производная y'(x₀) есть угловой коэффициент касательной в точке (x₀,y₀), т.е. y'(x₀)=tg , где  - угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

2.1.4. Механический смысл производной

Вернемся к задаче о вычислении мгновенной скорости и мгновенного ускорения и сравним формулы (3). (4) с определением производной. Эти формулы означают, что S' (t) = V (t), V' (t) = a (t). (5)

Формулы (5) читаются следующим образом:

Производная от пути по времени есть мгновенная скорость прямолинейного движения с заданным законом.

Производная от скорости по времени есть мгновенное ускорение прямолинейного движения с заданным законом.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Если функция y = f (x) имеет в точке x = a производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению производной существует . В частности, это означает, что х и y – бесконечно малы одновременно. Следовательно, В силу определения 3 непрерывности функция y=f(x) непрерывна в точке а. Что и требовалось доказать.

2.1.5. Основные правила и формулы дифференцирования

Выше мы определили производную y' (a) в точке а. Если точку а менять, то y' (x) можно рассматривать как функцию, ибо указано правило, по которому аргументу а ставится в соответствие функция y' (a). В этом случае мы будем производную обозначать y' (x) .

1. Производная постоянной равна нулю: (c)' = 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = c. Ясно, что y (x) = c ,

y(x + x) = c, поэтому y = y (x + x) - y (x) = c - с = 0, тогда:

.

2. Производная суммы функций равна сумме производных при условии, что производная каждого слагаемого существует:

(U + V)' = U' + V'.

Доказательство. Вычислим (U + V) = U(x + x) + V(x + x) - U(x) - V(x) = (U(x + x) - U (x)) + (V(x + x) - V (x)) = U + V.

Тогда, в силу свойств пределов:

3. Производная произведения функции существует и вычисляется по формуле (UV)' = U'V + UV' при условии, что существует производная каждого сомножителя.

Доказательство. Найдем (UV) :

(UV) = U (x + x) V (x + x) - U (x) V (x) =

= U (x + x) (V (x + x) - V (x)) + V (x) (U (x + x) - U (x)) =

= U (x + x) V + V (x) U.

В силу теоремы о непрерывности дифференцируемой функции

, поэтому по свойствам пределов

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак

производной: (СU)=СU.

4. Производная частного существует и вычисляется по формуле:

, при условии, что существуют производные числителя и знаменателя .

Доказательство. Вычисляем, как обычно,

В силу непрерывности дифференцируемой функции .

В частности, для достаточно малых x V(x + x)  0 вместе с V(x).

Тогда, пользуясь свойствами пределов, получим

Следствие. Производная дроби с постоянным числителем вычисляется по формуле: .

5. Производная сложной функции.

Пусть задана сложная функция . Если f(u) имеет производную по переменному u, а функция u имеет производную по переменному x, то и сложная функция имеет производную по переменному x, которая вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим приращение , соответствующее приращению аргумента х. При этом функция u получает приращение u, и u0 при x0 в силу непрерывности функции u (она имеет производную).

Тогда:

Замечание. Формула дифференцирования сложной функции справедлива для любого числа промежуточных аргументов. Например, для трех аргументов эта формула выглядит следующим образом:

, или .

Формулу дифференцирования сложных функций называют в связи с этим цепным правилом.

6. Производная обратной функции.

Пусть функция y=f(x) имеет обратную х=х(y). Если функция y=f(x) дифференцируема, то и функция х=х(y) также дифференцируема, и при этом

или .

Отметим, что, в частности, для обратимых функций

Доказательство. В силу определения обратной функции х(y(x))x. Дифференцируя это тождество, получим

7. Производная функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана уравнениями:

Если функции x(t), y(t) имеют производные по переменному t и , то и функция y=y(x), заданная уравнением (*), также имеет производную, и при этом .

Доказательство. Дадим приращение аргументу t, тогда x и y также получают приращения, причем x0, y0 при t0 в силу непрерывности функций х=х(t), y=y(t). В силу определения производной и свойств пределов имеем:

8. Функции, заданные неявно, дифференцируют следующим образом.

Обе части уравнения f(x,y)=0, задающего функцию, дифференцируют, рассматривая ее левую часть как сложную функцию. Из полученного соотношения находят y.