31

2. Дифференциальное исчисление функции одной

переменной

2.1. Производная и дифференциал

2.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача Лейбница о касательной.

Пусть для графика функции требуется записать уравнение касательной в точке .

Прежде чем приступить к решению задачи, уточним определение касательной, ибо “школьное” определение касательной годится лишь для очень ограниченного класса кривых.

Например, для кривой

в точке (x₀ ,y₀ ) существует бесконечно много прямых, имеющих лишь одну общую точку с кривой и, следовательно, бесконечно много касательных.

Пусть дана кривая y = f (x).

Вместе с точкой M₀ (x₀,y₀) , y₀ = f (x₀) рассмотрим точку M₁ (x₁,y₁) , y₁ = f (x₁) . Касательной к графику функции y=f(x) назовем предельное положение секущей М₀М₁ при условии, что точка М₁ неограниченно сближается с точкой М₀.

Запишем уравнение секущей M₀M₁ : .

Обозначим x = x₁-x₀,тогда y₁-y₀ = f (x₁) - f (x₀) = f (x₀ + x) - f (x₀) = y есть приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента x.

Тогда уравнение секущей М₀М₁ имеет вид или

.

Ясно, что предельное положение секущей существует, если существует . В случае существования последнего предела уравнение касательной имеет вид:

y - y_o = k(x - x_o), (1)

Отметим, что , где  - угол наклона касательной к оси ОХ.

Определение. Нормалью к кривой в точке (x₀,y₀) называют прямую, проходящую через эту точку перпендикулярно к касательной.

Из формулы (2) и определения нормали следует, что уравнение нормали имеет вид:

. (2)

2.Задача Ньютона о скорости.

Пусть материальная точка движется прямолинейно. Будем говорить, что движение этой точки задано, если известен закон, по которому по времени, прошедшему с начала движения, определяется путь, пройденный точкой в произвольный момент времени t.

Требуется найти мгновенную скорость движения точки V (t) в момент времени t . Напомним, что мгновенной скоростью движения точки в момент времени t называют предел средней скорости по отрезку [ t , t + t ] при условии, что этот отрезок стягивается в точку t.

Таким образом, по определению V (t) = V_ср ,

где V_ср = , т.е.V(t) = . (3)

Аналогичным образом можно показать, что мгновенное ускорение a(t) есть

, (4)

где V = V(t + t) - V(t).

Замечание. Совершенно разнородные задачи 1 и 2 приводят к вычислению однотипных пределов (1), (3). Это побуждает ввести общее понятие, обсуждаемое ниже.

2.1.2. Производная функции

Пусть точка x = a содержится в области определения функции y = f (x) вместе с некоторой окрестностью. Пусть х - приращения аргумента , не выводящие из области определения, а y, соответствующие им приращения функции: y = f (a + x) - f (a).

Определение. Производной функции y=f(x) в точке ха называют предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента , при условии, что последнее стремится к нулю.

Обозначается производная одним из следующих символов:

y' (a) , f ' (a) , .

Отметим, что зачастую аргумент опускается (если ясно, о каком аргументе речь), записи сокращаются до следующих:

y' , f ' , .

Таким образом, по определению: y ' .

Разумеется, с равным успехом можно использовать и любое из трех оставшихся обозначений производной для записи определения производной в виде формулы.