Практическая работа 3

Принятие оптимального решения в условиях неопределенности

3.1. Цель работы

Приобретение навыков решения поставленной в условиях неопределенности задачи путем проведения оценки ситуации различными критериями и нахождения оптимальной альтернативы из всех возможных.

3.2.Теоретические сведения

3.2.1.Описание алгоритма решения задачи в условиях

неопределенности

Принятие решения в условиях неопределенности требует определения альтернативных действий, которым соответствуют расходы или доходы, зависящие от случайных состояний или условий. Матрицу в задаче принятия решений с m-возможными действиями (альтернативами) и n-состояниями (условиями) можно представить в виде следующей модели (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Модель принятия решения в условиях неопределенности

Следовательно, математическая модель задачи принятия решений определяется множеством состояний fSj = 1;ng, множеством планов (стратегий) fAi = 1;mg и матрицей возможных результатов kVi; jk. Для принятия оптимальных решений и анализа ситуации в условиях неопределенности используется ряд критериев. Рассмотрим некоторые из них.

1.Критерий Лапласа.

2.Минимаксный критерий (критерий Вальда).

3.Критерий Сэвиджа.

4.Критерий Гурвица.

Эти критерии отличаются по степени консерватизма, который проявляет индивидуум, принимающий решение перед лицом неопределенности.

23

3.2.1.1. Критерий Лапласа

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного обоснования, который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояния P(sj) неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний равны между собой, то есть

P(s1) = P(s2) = P(sj) = P(sn) = 1: n

Если при этом V (aj;si) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает

()

Если величина V (aj;si) представляет собой расходы лица, принимающего решение, то оператор max заменяется на min.

3.2.1.2. Минимаксный (максиминный) критерий

Минимаксный (максиминный) критерий основан на консервативном подходе и осторожном поведении лица принимающего решение, и сводится к выбору наименьшей альтернативы из наибольших или наоборот — из наименьших альтернатив выбирают наибольшую.

Если величина представляет получаемую V (aj;si) прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее

Если величина V (aj;si) представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением:

3.2.1.3. Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа стремится смягчить определенный консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (вы-

24

игрышей или проигрышей) V (aj;si) матрицей рисков (потерь) r(aj;si), которая определяется следующим образом:

Независимо от того, является ли V (aj;si) выигрышами или потерями, r(aj;si) во всех случаях определяют величину потерь лица, принимающего решения. Следовательно, к рискам r(aj;si) можно применять только минимаксный критерий.

3.2.1.4. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица охватывает ряд различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Для описания склонности лица к оптимизму используется параметр оптимизма 0 6 a 6 1.

Пусть величины V (aj;si) представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует

Если a = 0, то критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия. Если a = 1, то критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшее из наилучших условий. Степень оптимизма (или пессимизма) можно конкретизировать надлежащим выбором величины a из интервала [0;1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор a = 0;5 представляется разумным.

Если величины V (aj;si) представляют собой потери, то критерий принимает следующий вид:

3.2.2.Пример решения задачи

3.2.2.1.Формулировка задачи

Внекотором городе планируется построить санаторий. Организаторы посчитали, что количество отдыхающих в зависимости от времени года может быть различно и составлять 150, 200, 300 или 350 человек.

25

Пусть переменные a1–a4 представляют собой возможные по количеству отдыхающих размеры санатория, а переменные s1–s4 соответствуют различным уровням обслуживания отдыхающих.

Матрица затрат (в тыс. рублей) приведена в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Матрица затрат на постройку санатория

Определить оптимальный размер санатория, характеризующийся наименьшими затратами.

3.2.2.2. Решение по критерию Лапласа

При заданных вероятностях P(sj) = 14 = 0;25, где j = 1;2;3;4, ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом:

M4fa4g = 14 (170 + 165 + 150 + 190) = 168;75

Так как исходная матрица представляет собой расходы, то оптимальное решение достигается при реализации альтернативы, характеризующейся минимальными затратами.

Вывод: наименьший уровень расходов был получен при использовании альтернативы a2. Организаторы решают построить санаторий на 200 отдыхающих.

3.2.2.3. Решение по минимаксному критерию

Эту же задачу можно решить с помощью минимаксного критерия

так как в данном случае рассматривается матрица расходов (табл. 3.3).

26

Таблица 3.3

Решение задачи по минимаксному критерию

Вывод: наименьший уровень расходов был получен при использовании альтернативы a2. Организаторы решают построить санаторий на 200 отдыхающих.

3.2.2.4. Решение по критерию Сэвиджа

Для случая исследования расходов, согласно критерию Сэвиджа, составляется матрица рисков, элементы которой определяются по данным исходной матрицы из следующего соотношения:

r(ai;sj) = V (ai;sj) min V (ak;sj) ;

Матрица рисков в данном случае имеет следующий вид (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Решение задачи по критерию Сэвиджа. Матрица рисков

27