8.4 Ненадежные линии

В практических расчетах пропускной способности любой системы важно учесть ненадежность элементов, образующих данную систему. При выводе фор­мул будем предполагать, что интервалы исправной работы линии подчинены экспоненциальному распределению. Пусть на v-линейный полнодоступный пучок с потерями поступает пуассоновская нагрузка первого рода с параметрами λ и μ. Рассмотрим два режима работы элементов, которые приводят к выходу из строя линии: 1) выход из строя отдельной линии только во время занятия с интенсивностью ω; 2) выход из строя отдельной линии независимо от со­стояния ее занятости с интенсивностью ω.

Длительность восстановления неисправной линии предположим распределен­ной экспоненциально с интенсивностью τ (т. е. среднее время восстановления равно 1/τ). Требуется выбрать такое v, чтобы вероятность потери была не бо­лее заданной величины В. Потерянным будем считать вызов, который в момент поступления застал все линии занятыми.

Поясним введенные параметры на примере. Пусть дан десятилинейный пу­чок. В течение часа на его вход поступает в среднем 100 вызовов со средней длительностью занятия 3 мин. Отдельная линия выходит из строя в среднем через 100 ч, на восстановление уходит 1 ч.

В качестве единицы времени возьмем 1 ч. Тогда параметры принимают зна­чения: v = 10; λ =100; μ=20 (средняя длительность разговора 1/μ =3 мин = = 1/20 ч); ω =0,01; τ =1.

8.4.1 Выход из строя линии во время занятия

В этом случае можем считать, что любое занятие с некоторой вероятностью прерывается выходом из строя линий, а само время пребывания в неисправном состоянии можно условно также считать занятием (фиктивным занятием).

Истинное занятие (разговор) может окончиться одним из двух событий: успешным окончанием разговора — с вероятностью μ/(μ+ω) — или выходом из строя линии (прерыванием разговора и переходом в фиктивное занятие) — с вероятностью ω/(μ+ω). В первом случае длительность занятия будет равна 1/(μ+ω), во втором — ω/(μ+ω) + 1/τ. Следовательно, средняя длительность занятия:

Для вычисления числа линий находим интенсивность эквивалентной пуассоновской нагрузки первого рода, учитывающей полезное занятие и длительность пребывания в неисправном состоянии:

Затем из таблиц первой формулы Эрланга по данным А и В находим тре­буемое v, т. е. имеем:

(8.1)

8.4.2 Выход из строя линии независимо от ее занятости

В этом случае занятость линии будет определяться двумя потоками: пото­ком собственно вызовов (истинных вызовов) с интенсивностью λ (интенсив­ность обслуживания μ, интенсивность нагрузки А=λ/μ) и потоком моментов выхода из строя линий, образуемым конечным числом источников нагрузки — числом исправных линий. В состоянии с k исправными линиями интенсивность выхода из строя линии равна ωk, интенсивность ее восстановления — τ. Ин­тенсивность нагрузки А₁=ω/τ.

Будем вводить формулы при предположении, что выход линий из строя происходит намного реже, чем поступление вызовов, т. е. ω << 1. Тогда имеем два независимых процесса: процесс обслуживания вызовов, который описыва­ется формулой Эрланга с переменным числом обслуживающих (исправных) линий, и процесс выхода из строя и восстановления линий, число исправных линий в котором определяется распределением Энгсета.

Следовательно, вероятность потери вызова:

(8.2)

Замечания:

1. Вывод формулы (2) может быть без изменений повторен для более сложных систем, чем полнодоступные. В этом случае вместо формулы Е_k(А) в (2) будут фигурировать другие выражения.

2. Если μ = τ, т. е. средняя длительность разговора совпадает со средней длительностью восстановления, то рассмотренную задачу выхода из строя мож­но решать как задачу обслуживания вызовов двух приоритетов: первый — вы­ходы из строя, второй — сами вызовы. Интенсивность нагрузки первого прио­ритета А₁=ω/τ, второго — А=λ/μ. Вероятность потери источника вызова:

(8.3)

и обслуженная (полезная) нагрузка R=λ(1—В)h, где h — средняя длитель­ность обслуживания источника вызова. Так как обслуживание вызова может быть прервано, то h < 1/μ. Тогда:

(8.4)