6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки
В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на коммутационную систему может поступать только такой поток вызовов, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. Иными словами, чтобы не создавалось неограниченного количества необслуженных первичных и повторных вызовов, необходимо, как и в системе с ожиданием, ввести следующее ограничение:
(6.8)
Величина определяется из соотношения
,
(6.9)
где t – средняя суммарная длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что для его обслуживания источник может производить и повторные вызовы (величина t должна учитывать также вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, т. е. не завершаются вторым этапом обслуживания – разговором), а с – интенсивность потока первичных вызовов в течение 1 ч.
Первичные и повторные вызовы, поступающие в моменты занятости всех линий пучка, не занимают линий пучка. Поэтому на величину t влияют только вызовы, попадающие, по крайней мере, на первый этап обслуживания. При первом этапе обслуживания одного вызова среднее время занятия линии пучка равно t, а при втором этапе обслуживания с вероятностью –t. Среднее время занятия линии для обслуживания каждой такой попытки составляет t+t.
Если обозначить через L среднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова, то величина t составит
(6.10)
Определим величину L. Вызов первый раз поступает на первый этап обслуживания. С вероятностью данный вызов не попадает на второй этап обслуживания. При этом вероятность того, что источник указанного вызова осуществляет повторный вызов, равна H. Следовательно, с вероятностью H поступает повторный вызов.
Снова с вероятностью этот повторный вызов не поступает на второй этап обслуживания и с вероятностью H источник производит новый повторный вызов, т. е. с вероятностью (H)2 источник производит новый повторный вызов и т. д. Таким образом,
(6.11)
Заметим, что, если мера настойчивости источника H=1 (=0), то
(6.12)
Из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности и не зависит от параметра потока повторных вызовов.
Используя (6.10) и (6.11) либо (6.12), формулу (6.9) можно привести к виду
,
если
(6.13)
,
если
(6.14)
Принимая
за единицу времени именно среднее
суммарное время занятия линий пучка
полным обслуживанием одного вызова t,
находим, что интенсивность потока за
такую единицу времени
.
Для
простейшего потока интенсивность
равна его параметру ,
что позволяет величину
определять
отношением
(6.15)
6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами
Рисунок 6.6 – Диаграмма переходов для системы с повторами
Процесс обслуживания коммутационной системой первичных и повторных вызовов является марковским процессом. Используя его частный случай – процесс рождения и гибели, исходим из того, что за время 0 с конечной вероятностью в системе не может произойти более одного из следующих событий: поступления одного первичного или одного повторного вызова; окончания первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка; прекращения одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания.
Вероятность поступления за время т точно одного первичного вызова составляет +о(), 0; аналогично этому вероятность поступления за время точно одного повторного вызова при наличии k источников повторных вызовов равна k+о(), 0. Вероятность окончания за время первого этапа обслуживания одной из i занятых таким обслуживанием линий есть i+о(), 0; аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j–i) занятых таким обслуживанием линий равна (j–i)+о(), 0. Вероятность прекращения одним из k источников повторных вызовов попыток добиться второго этапа обслуживания составляет k+o(), 0.
Пусть коммутационная система в произвольный момент (t+) должна находиться в состоянии (i, j, k), в котором в пучке занято i линий первым и j линий первым и вторым этапами обслуживания и в системе находится k источников повторных вызовов. Диаграмма состояний и переходов процесса обслуживания приведена на рис. 6.6. Обозначим через pi,j,k(t+) и pi,j,k(t) вероятности того, что система соответственно в моменты (t+) и t находится в состоянии (i, j, k). Для значений i=0, 1, .... j; j=0, 1, ..., –1; k = 0, 1, 2, ... коммутационная система к моменту (t+) может перейти в состояние (i, j, k) за время (t, t+), 0, с конечным значением вероятности из следующих состояний системы в момент t:
1. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k) и за время на систему поступает первичный вызов. Вероятность такого события pi,j,k(t+)1=pi-1,j-1,k(t)+o().
2. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k+1) и за время от одного из (k+1) источника повторных вызовов поступает повторный вызов. Вероятность такого события pi, j, k(t+)2=pi-1, j-1, k+1(t)(k+1)+о().
3. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k+1) и за время один из (k+1) источника повторных вызовов покидает систему, не добившись второго этапа обслуживания вызова. Вероятность такого события pi, j, k(t+)3=pi, j, k+1(t)(k+1)+o().
4. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j, k) и за время один из (i+1) вызовов перейдет с первого ко второму этапу обслуживания. Вероятность такого события pi, j, k(t+)4=pi+1, j, k(t)(i+1)+о().
5. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j+1, k–1) и за время после первого этапа обслуживания освобождается одна из (i+1) линий. Вероятность такого события pi,j,k(t+)5=pi+1, j+1,k-1(t)(i+1)+o().
6. Система в момент t находится в состоянии (i, j+1, k) и за время освободится одна из (j+1–i) линий, занятых вторым этапом обслуживания. Вероятность такого события pi,j,k(t+)6=pi,j+1,k(t)(j+1–i)+о().
7. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k) и за время не происходит изменения состояния системы, т. е. за время не поступает ни одного первичного и ни одного повторного вызова, не изменяется состояние ни одной из линий, занятых первым этапом обслуживания, и ни одной из (j–i) линий, занятых вторым этапом обслуживания, а также ни один из k источников повторных вызовов не покидает систему. Вероятность такого события pi, j, k(t+)7=pi, j, k(t)[1––k–i–(j–i)–k]+о().
Имея в виду, что перечисленные события, приводящие коммутационную систему к моменту (t+) в состояние (i,j,k), взаимно независимы, можно записать
(6.16)
Систему уравнений вероятностей состояний модели (6.9) необходимо дополнить уравнениями, в которых состояния коммутационной системы в момент (t+) характеризуются занятостью всех линий пучка первым и вторым этапами обслуживания вызовов, т. е. состояниями (i, , k), в которых j= и соответственно вероятность которых есть pi,,k(t+).
Производя над общей системой уравнений pi,j,k(t+) и pi,,k(t+) точно такие же преобразования, которые произведены в гл. 4 над системой уравнений вероятностей состояний полнодоступного пучка, обслуживающего симметричный поток вызовов, получаем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний коммутационной системы pi, j, k и pi,,k.