6.1.3. Приближенный расчет нагрузки при повторных попытках

В реальной системе связи каждый разговор, занимающий коммутационный тракт на 2—3 мин, порождает случайное число повторных попыток, каждая из которых длится несколько секунд и занимает весь коммутационный тракт или только часть его в зависимости от места блокировки.

Влияние повторных попыток на результаты измерений нагрузки зависит от того, какое определение вероятности потерь взято за основу. Потерянная нагрузка состоит из отрезков времени, которые соответствуют безуспешным попыткам установления соединения. При этом вероятность потерь по нагрузке, рассматриваемая как отношение потерянной нагрузки ко всей поступившей нагрузке, может быть небольшой. В то же время вероятность потерь по вызовам, рассматриваемая как отношение потерянных попыток к общему числу первичных и повторных попыток, может быть в несколько раз больше. Смешение этих двух подходов приводит к грубым просчетам в оценке пропускной способности системы. Покажем это на примере.

Пусть дана система связи, состоящая из т звеньев, в которой вероятность потери попытки на отдельном звене равна р и не зависит от состояния (занятия линий) на остальных звеньях. Такое предположение приближенно выполняется для сложных систем связи. Наша задача — вычислить величины обслуженной и, потерянной нагрузок на отдельном звене системы.

Для уточнения постановки данной задачи приведем ошибочные или, точнее, очень грубые рассуждения по поводу ее решения, которые иногда встречаются на практике. Рассуждают так. Если нагрузка, обслуженная на последнем звене, должна быть равна, например, 100 Эрл, а вероятность потери на отдельном звене р=0,5, то нагрузка, поступающая на последнее звено, равна 200 Эрл, на (т—1)-е звено —400 Эрл (400 = 100∙2²) и т. д. Нагрузка, поступающая на первое звено, равна 2^т∙^∙100 Эрл. Следовательно, обслуженная нагрузка равна 100 Эрл, а потерянная – соответственно (2^т−1)∙100 Эрл. Такие рассуждения на практике приводят к грубым просчетам.

Если нагрузка, обслуженная всей системой, равна 100 Эрл, то нагрузка, обслуженная первыми (т—1) звеньями, не может быть равна 200 Эрл, а намного меньше. Каждый потерянный вызов занимает соединительный путь на небольшое время (всего на несколько секунд) по сравнению со средней длительностью разговора, которая равна 2—3 мин.

Если временем установления соединения пренебречь, то поступающая нагрузка равна тем же 100 Эрл. Для более точного нахождения поступающей нагрузки следует учитывать время поиска свободного пути (время установления соединения). Кроме того, нужно учитывать поведение абонентов, создающих повторные попытки. Итак, найдем решение следующей задачи.

Пусть т – число звеньев коммутационной системы; р — вероятность потери вызова на одном звене (независимо от состояния других звеньев); t — среднее время поиска соединения на одном звене; Т — средняя длительность разговора, абонент абсолютно настойчив. Требуется найти нагрузку, поступающую на любое звено сети.

Решим эту задачу приближенно при помощи элементарных соображений теории вероятностей. Приближенный характер решения заключается в том, что не учитываются зависимости между состояниями соседних звеньев.

Вычисление обслуженной нагрузки. Рассмотрим события, которые связаны с одной попыткой. Вероятность потери попытки на первом звене равна р, на втором звене — р(1—р) и т. д., на т-м звене равна р(1— р)^m-1; вероятность успешного прохождения всех т звеньев и предоставления свободного пути равна (1—р)^т. Легко проверить, что эти события образуют полную группу событий, так как р+р(1— р)+ ... +р(1— р)^т-1+ (1 — р)^т = 1.] Вычислим нагрузку, поступающую на первое звено при каждом событии. Если попытка потеряна на первом звене, то поступающая нагрузка равна t (среднее время поиска пути), если на втором,— то 2t (и т. д., если на т-м,— то mt. Если попытка не потеряна, то поступающая нагрузка равна mt+T, Следовательно, каждая попытка установить соединение приводит к тому, что нагрузка, поступающая на первое звено, равна

(6.3)

Нагрузка, поступающая на последнее звено, отлична от нуля только в том случае, если попытка не была потеряна на первых т–1 звеньях и 1) равна t+Т, если вызов обслужен, вероятность чего составляет (1—р)^т; 2) равна t, если попытка потеряна именно на т-м звене; вероятность этого события р(1—р)^m-1; 3) нагрузка равна нулю с дополнительной вероятностью р+ ... +р(1—р)^m-2 .

Следовательно, средняя нагрузка, доходящая до т-го звена при поступлении одного вызова на первое звено, равна

(6.4)

Из соотношений (3) и (4) находим отношение нагрузок

(6.5)

Зависимости отношения от т при значениях p=0,1 и p=0,5 представлены на рисунке 6.5а.

Рисунок 6.5 – Влияние .повторных попыток на нагрузки и потери:

а) зависимость ; б) зависимость вероятности безуспешной попытки от числа звеньев системы 1/(1-p)^m

Вычисление нагрузки на управляющие устройства. Выражения (4) и (5) определяют нагрузку на коммутационное оборудование. Часть этой нагрузки падает на управляющие устройства. Естественно, что при повторных попытках нагрузка на УУ больше той нагрузки, которая была бы в системе без повторных попыток.

Вычислим среднее число повторных попыток, порождаемых одним вызовом. Вероятность установления соединения на всех звеньях s=(1—р)^т, а вероятность потери попытки (на каком-то из т звеньев) равна 1 – (1—р)^т. Вероятность того, что число повторных попыток будет равным i, есть s(1—s)ⁱ. Следовательно, среднее число повторных попыток на один вызов равно

(6.6)

Некоторые численные значения этого отношения представлены па рис. 6.5б плюс первичная попытка и отношение интенсивности суммарного потока попыток к интенсивности потока первичных попыток равно

(6.7)

Некоторые численные значения этого отношения представлены на рис. 6.5б.

Выражение (6.6) характеризует увеличение нагрузки из-за повторных попыток. Так как время установления соединения одно и то же для первичных и повторных попыток, то выражение (6.7) показывает, во сколько раз из-за наличия повторных попыток возрастает нагрузка на УУ. Сравнение (6.5) и (6.7) показывает, что дополнительная нагрузка на УУ растет значительно быстрее, чем нагрузка на соединительные линии. Из рис. 6.5 видно, что при р=0,1 и т=1 нагрузка на линии возрастает менее чем на 10%, а на УУ она удваивается.

Уплотнение абонентских линий. С целью экономии абонентских линий в телефонной практике применяют так называемое спаривание, т. е. к одной и той линии подключают два аппарата. Покажем, как это влияет на нагрузку АТС. Пусть вероятность занятия аппарата абонента π_а=0,2 (остальными вероятностями потери попытки соединения пренебрежем). Тогда при наличии одного аппарата на линии среднее число попыток на один вызов будет 1/((1–π_а)=1/0,8=1,25, при наличии двух аппаратов 1/0,6=1,67, при наличии трех аппаратов 1/0,4=2,5 попытки. Следовательно, при спаривании линии имеем нагрузку на УУ не 2∙1,25=2,5 попытки, а 2∙1,67 = 3,34 попытки, что равносильно тому, что УУ обслуживают не два, а 2,7 абонента. Эффект роста дополнительной нагрузки еще больше при наличии строенной линии: имеем не 3∙1,25 = 3,75 попытки, а 3∙2,5 = 7 попыток, т. е. как будто вместо трех абонентов станция обслуживает шесть абонентов.