4.2.2. Алгебра подій

Означення 1.

А + В (об'єднання множин) - сума подій. Це подія, що полягає в тому, що відбулася хоч б одна з двох подій А або В.

Означення 2.

АВ (перетин множин) - добуток подій. Це подія, що перебуває в одночасному здійсненні подій А і В.

Означення 3.

(доповнення множини А до ) - протилежна подія. Це подія, яка полягає в тому, що А не відбувається.

Приклад.

Гральна кістка підкидається один раз. Результат, що спостерігається -

число очок на верхній грані. Події:

А = { X кратне трьом }; У = { X непарне };

С = { X > 3 }; D = { X < 7 };

Е = { X дробове }; F = { 0.5 < X < 1.5 }.

Описати склад і з'ясувати значення наступних подій:

Розв'язання. Простір елементарних подій описаний в прикладі 1.

- випало парне число очок;

- випало число очок не більше 3;

- число очок, що випало непарне і кратне 3;

- число очок, що випало або непарне або кратне трьом;

;

4.2.3. Класичне означення ймовірності

Ймовірністю події називається відношення числа - рівноможливих випадків, що сприяють появі події до числа всіляких випадків , утворюючих ПЕП, тобто повну групу рівновирогідних подій:

(4)

З означень ймовірності випливає, що ймовірність події задовольняє наступним властивостям:

1. .

2. Якщо - вірогідна подія, то .

3. Якщо - неможлива подія, то .

Приклад.

У партії з 10 виробів є 3 нестандартних. Визначити ймовірність того, що серед вибраних навмання 5 виробів, нестандартними виявляться 2 вироби.

Розв'язання.

Елементарною подією є вибірка будь-яких 5 виробів з їх загального числа 10. Число усіх таких подій дорівнює числу сполучень з 10 по 5, тобто Подія А - це подія, що полягає в тому, що вийняли 5 виробів, з яких 2 нестандартних. Отже сприятливими для А є такі групи по 5 виробів, в яких 3 вироби стандартні, а 2 - нестандартні. Число таких груп отже як групу з двох нестандартних виробів можна утворити а групу з 3 стандартних виробів способами, причому будь-яка група стандартних виробів може комбінуватися з будь-якою групою нестандартних виробів. Звідси

4.2.4. Теореми додавання і множення ймовірностей

Теорема 1. Ймовірність суми несумісних подій рівна сумі їх ймовірностей, тобто

. (5)

Теорема 2. Якщо і - сумісні події, то

. (6)

Означення. Подія називається залежною від події , якщо ймовірність появи події залежить від того, відбулась чи не відбулась подія . Ймовірність події при умові, що подія відбулася, будемо називати умовною ймовірністю події А при умові В і позначати .

Приклад. В урні знаходиться 3 білих і 5 чорних куль. З урни виймається одна куля, а потім друга. Знайти ймовірність 1) того, що за другим разом буде вийнята біла куля при умові, що в першому випадку була вийнята також біла куля; 2) - ймовірність того, що за другим разом буде вийнята біла куля, при умові, що в першому випадку була вийнята чорна.

Розв'язання.

1. Якщо в першому випадку була вийнята біла куля, то в урні залишилося 2 білих кулі і 5 чорних. Тому .

2. Якщо в першому випадку була вийнята чорна куля, то в урні залишилося 3 білих кулі і 4 чорних. Тому умовна ймовірність .

Теорема 3. Ймовірність виконання двох подій одночасно дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність другого, обчислену при умові, що перша подія відбулася, тобто

або (7)

Якщо події і незалежні, тобто ймовірність однієї події не залежить від того відбулась чи не відбулась інша подія, тобто , то для цього випадку попередня теорема запишеться так

, (8)

а для n незалежних подій

(9)

Приклад. Знайти ймовірність найбільшого виграшу в спортлото 5 з 36.

Розв'язання. Найбільший виграш буде в тому випадку, коли будуть угадані усі 5 номерів з 36. ймовірність угадати перший номер дорівнює 5/36, ймовірність угадати другий номер, при умові, що перший угаданий, дорівнює 4/35 і т.д. Тому за теоремою 3 отримуємо шукану ймовірність

.

Теорема 5. Ймовірність появи хоч б однієї з подій незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей подій, протилежних даним:

(9a)

Тут