4. Завдання по виконанню розрахунково-графічної
РОБОТИ № 6 " ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”.
Комбінаторика. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики
Вступ
У методичних вказівках з курсу «Теорія ймовірностей», частина 1-а відповідно до програми для курсантів усіх спеціальностей ОНМА містяться необхідні теоретичні відомості і формули для розв'язування типових задач, далі наводяться розв'язки типових задач, а також варіанти контрольних завдань за темами «Комбінаторика», «Елементи теорії ймовірностей», “Математична статистика”.
4.1. Комбінаторика
При розв'язуванні задач з теорії ймовірностей згідно з класичним означенням ймовірності випадкової події необхідно підраховувати кількість яких-небудь об'єктів - елементів деяких кінцевих множин або число всіляких способів, за допомогою яких можна здійснити вибір того або іншого результату. Такі задачі вивчає комбінаторика, предметом якої є теорія кінцевих множин.
4.1.1. Основний принцип комбінаторики
Нехай з пункту А до пункту В можна проїхати трьома різними видами транспорту, а з В до С - двома:
Н
еобхідно
знати, яким числом способів
можна проїхати з
А до С через В?
Розв'язання.
Очевидно, що число різних шляхів з А до С дорівнює 3*2=6, оскільки для кожного з трьох можливих способів подорожі з А до В маємо два можливих способи подорожі з В до С.
Міркування, що приводяться при розв'язуванні цієї задачі, ілюструють основний принцип комбінаторики. Сформулюємо його.
Основний принцип комбінаторики:
Якщо
треба здійснити k-крокову операцію,
перший крок якої можна виконати числом
способів,
другий крок -
числом
способів,...,
k-ий крок -
числом способів,
то всю операцію можна здійснити:
числом способів.
4.1.2. Розміщення
Розглянемо
різні типи комбінацій, які можна скласти
з
n елементів, вибираючи m з
них,
.
Розміщеннями з n елементів по m називаються будь-які впорядковані m-елементні підмножини множини, що складається з n елементів, тобто такі комбінації елементів, які можуть відрізнятися одна від одної або самим елементом, або їх порядком, або і тим і іншим.
Число всіх розміщень з n елементів по m визначається за формулою:
(1)
Приклад.
Нехай є три елементи: А, В, С (n=3). Складемо з них усі можливі розміщення по 2 елементи (m=2). Отримаємо такі пари: AB AC BC BA CA CB. Кількість таких підмножин можна обчислити за формулою:
.
4.1.3. Сполучення
Сполученнями з n елементів по m називаються m-елементні підмножини n-елементної множини, тобто комбінації, відмінні одна від одної хоча б одним елементом (порядок значення не має).
У загальному випадку число сполучень з n елементів по m обчислюється за формулою:
(2)
Приклад.
Нехай дано 3 елементи: А, В, З (n=3). Скласти з них сполучення по m=2 елемента. Отримаємо наступні пари: AB BC AC. Підрахуємо число сполучень за формулою (2):
4.1.4. Перестановки
Перестановками з n елементів називаються такі комбінації, які відрізняються між собою тільки порядком елементів, тобто перестановки - це розміщення з n елементів по n елементів.
Їх число обчислюється за формулою:
Р = n! (3)
Приклад. Скількома способами можуть розміститися 5 чоловік в черзі в касу?
Розв'язання. Очевидно, кількість способів розміщення 5-и чоловік в черзі в касу обчислюється за формулою: Р = 5! = 120.
Приклад. Скільки можна скласти перестановок з n елементів, в яких дані 2 елементи не розміщуються поруч?
Розв'язання. Визначимо число перестановок, в яких дані 2 елементи А і В містяться поруч. Mожливі наступні випадки:
1. А стоїть на першому місці,
2. А стоїть на другому місці, …
3. А стоїть на (n-1) місці, а В стоїть правіше А;
число таких випадків - (n-1). Крім того, А і В можна поміняти місцями, і, отже, число випадків, коли А і В поруч дорівнює 2(n-1). Кожному з цих способів відповідає (n-2)! перестановок інших елементів. Отже, число перестановок, в яких А і В містяться поруч, дорівнює 2(n-1)(n-2)!= 2(n-1)! Тому шукане число перестановок дорівнює n!-2(n-1)!.