Тема 2.2. Преобразование чертежа для определения действительной величины.

Преобразование чертежа для определения действительной величины: метод вращения, метод перемены плоскостей проекции, метод совмещения.

При изучении темы следует усвоить следующие вопросы: проецирование на дополнительную плоскость проекций; использование метода проецирования на дополнительные плоскости для определения действительных величин отрезков и плоскости; метол вращения при определении действительных величин отрезков и проецирующих плоскостей. Рекомендуется решение задач на определение действительных величин.

При решении задач инженерной графики в ряде случаев появляется необходимость в определении натуральной величины отрезка прямой линии. На комплексном чертеже геометрические объекты проецируются так, что многие элементы, составляющие их, например отрезки прямых, углы, плоские фигуры, изображаются с искажением. В то же время при решении многих задач часто возникает необходимость преобразовать комплексный чертеж так, чтобы необходимый элемент расположился параллельно или перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Например, необходимо, чтобы отрезок прямой, представляющий собой ребро многогранника, или многоугольник, представляющий собой грань многогранника, расположились параллельно плоскости проекций. В этом случае на эту плоскость они проецируются в натуральную величину.

Решение таких задач в значительной степени упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций.

Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. Задача преобразования комплексного чертежа может быть решена перемещением проецирующего тела в пространстве до требуемого положения или изменением в пространстве положения плоскостей проекций относительно геометрического тела.

Существует несколько методов решения этих задач. В основном используются нижеследующие:

• способ совмещения,

• способ замены плоскостей проекций и

• способ вращения.

Так как частных положений у прямых два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа: прямую общего положения сделать прямой уровня; прямую уровня сделать проецирующей; плоскость общего положения сделать проецирующей; проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.

1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Р ассмотрим решение одной из задач способом замены плоскостей проекций: нужно преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня. Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁ _|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рисунке построено изображение прямой l (А, В) общего п оложения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁ A₄ и В₁ В₄ проведены перпендикулярно новой оси — П₁ /П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁. Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄ отрезка АВ и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁ П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П₄_|_П₂ .

Так как при решении одной из задач контрольной работы №1 необходимо будет найти действительную величину сечения, то мы и предлагаем преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение. В системе плоскостей проекций П₁, П₂ даны проекции треугольника ABC общего положения (см. рисунок ниже).

В этом случае для определения формы и размеров треугольника потребуется произвести двойную замену плоскостей проекций.

При первой замене новая плоскость должна быть перпендикулярна заданной фигуре, тогда плоская фигура спроецируется на нее в виде прямой. При второй замене новая плоскость должна быть параллельна заданной фигуре, тогда проекция, полученная на этой плоскости, выявит форму фигуры, размеры ее сторон и углов.

Первая замена. Для того чтобы фигура была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы одна из прямых фигуры была перпендикулярна плоскости. В данном случае воспользуемся фронталью АК треугольника, проведенной через вершину А и точку К, расположенную на стороне ВС. Заменим систему П₁, П₂ системой П₂, П₄. Для этого на плоскости П₂ проведем новую ось s₂₄ перпендикулярно фронтальной проекции А₂К₂ фронтали (на плоскости П₂ фронталь АК выявлена в натуральную вели­чину). На новой плоскости Я₄ проекция треугольника выявится прямой C₄B₄.

Вторая замена. Систему П₂, П₄ заменяем системой П₄, П₅ так, чтобы новая плоскость П₅ была параллельна плоскости треугольника. Для этого на плоскости П₄ проводим новую ось ось s₄₅ параллельно проекции C₄B₄ треугольника. Проекция треугольника А₅В₅С₅ на новой плоскости П₅ выявляет форму треугольника длину каждой его стороны и размеры углов.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

2. Способ вращения

К ак уже отмечалось, при преобразовании комплексного чертежа возможно изменение положения заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций при неизменном положении основных плоскостей проекций. Это осуществляется путем вращения этих элементов вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей. Такое преобразование комплексного чертежа носит название способа вращения.

В качестве оси вращения в этом случае удобнее всего выбирать проецирующие прямые или прямые уровни, тогда точка будет вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

При вращении вокруг горизонтально проецирующей прямой горизонтальная проекция А₁ точки А перемещается по окружности, а фронтальная AI — по прямой, перпендикулярной фронтальной проекции оси, являющейся фронтальной проекцией плоскости вращения Г₂ . При этом расстояние между горизонтальными проекциями двух точек А и В при их повороте на один и тот же угол со остается н еизменным (А₁В₁ = A₁B₁).

А налогичные выводы можно сделать и для вращения вокруг фронтально проецирующей прямой. При вращении плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, проекция ее на эту плоскость не изменяется ни по величине, ни по форме, так как не изменяется наклон плоской фигуры к этой плоскости, а меняется лишь положение этой проекции относительно линии связи. Вторая же проекция на плоскости, параллельной оси вращения, изменяется и по форме, и по величине. Проекции точек на этой плоскости проекций находятся на прямых, перпендикулярных исходным линиям связи. Пользуясь этими свойствами, можно применить для преобразования чертежа способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая величину радиуса вращения. Это — способ плоскопараллельного перемещения, при котором все точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях без изменения действительного вида и размеров этой фигуры.

Треугольник ABC занимает общее положение. Первым плоскопараллельным перемещением он поставлен во фронтально проецирующее положение с помощью горизонтали h, которую расположим как фронтально проецирующую прямую в ее плоскости вращения Г || П. При этом А₁В₁С₁ = А₁В₁С₁, а плоскости вращения точек В и С параллельны плоскости Г. Вторым перемещением АВС расположен параллельно плоскости П₁. Без изменения оставлена вырожденная фронтальная проекция треугольника (А₂В₂C₂ = А₂В₂С₂), а новая горизонтальная проекция, дающая истинную величину АВС, получена построением новых горизонтальных проекций точек А₁В₁ и С₁ в результате их вращения в параллельных фронтальный плоскостях уровня (B₂ ~ Ф; B ~ Ф).

Способом вращения могут быть решены и другие задачи, применительно к их условиям.

3. Способ совмещения

С пособ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость, вращая вокруг одного из следов, совмещают с плоскостью проекций, т. е. накладывают на плоскость проекций вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости. В совмещенном положении гео­метрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура задана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Наклонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след — перпендикулярно оси проекций (ограничим рассмотрение вопросов совмещения только совмещением проецирующих плоскостей).

На рисунке показано совмещение плос­кости Р с плоскостью V — фронтальной плоскостью проекций — вращением плоскости Р вокруг фронтального следа P_v. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V. Через вершины треугольника ABC проведены в плоскости Р горизонтали и фронтали. Вершины треугольника лежат в точках пересечения этих линий. Горизон­тальные проекции горизонталей параллельны горизонтальному следу Р_н1 плоско­сти Р, а горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ох. На фронтальную плоскость проекций горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в точки а', Ь' и с' на след P_v. На этот же след проецируются и фронтали.

Для построения совмещенного положения плоскости Р с плоскостью V прово­дят совмещенный горизонтальный след Р_н плоскости Р перпендикулярно фрон­тальному следу Р_у через точку схода следов Р_х. Следы Р_и и P_v расположены в про­странстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводят в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересекают след P_v в точках, совпадающих с проекциями а', Ь', с', и через эти точки проводят горизонтали параллельно совмещенному следу Р_н1

Фронтали пересекает горизонтальный след Р_н в точках 1,2, 3. Из этих точек проводят дуги с центром в точке Р_х, находят точки 1₁ ,2₁, 3₁ и через них проводят совмещенные фронтали параллельно следу P_v, так как все фронтали плос­кости параллельны ее фронтальному следу. Каждая из проведенных фронталей, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из совмещенных вершин треугольника. Треугольник ABC в совмещенном положении изображается в натуральную величину.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?

2. С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?

3. В какой плоскости перемещается точка, вращаемая вокруг оси?

4. Чем отличается способ вращения от способа перемены плоскостей проекций?

5. Когда длина проекции отрезка прямой равна длине отрезка?

Т е м а 2.3. Проецирование геометрических тел.

Проецирование геометрических тел (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар) на три плоскости проекций с анализом элементов геометрических тел (вершины, ребер, граней).

При изучении темы необходимо рассмотреть следующие вопросы: гранные тела, тела вращения, принцип образования их поверхностей. Для закрепления теоретических знаний следует выполнить упражнение: построение чертежа, аксонометрии, развертки гранного тела и тела вращения, точки и линии, принадлежащих им поверхностей.

1. Гранные тела

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной.

Их элементами являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами. Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рисунки б, г), в противном случае - незамкнутой (рисунки а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рисунок а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рисунок г). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. Если все боковые грани имеют форму треугольников с одной общей вершиной, то такая пирамида называется полной пирамидой.

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и ее высота проходит через центр основания, то такая пирамида называется пра­вильной пирамидой. Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной пирамидой.

Ортогональные проекции правильной полной пирамиды.

На рисунке показано проецирование пирамиды.

Сначала проводят оси координат, осевые и центровые линии, а потом на центровых линиях строят горизонтальную проекцию пирамиды, начиная построение с многоугольника, лежащего в основании. Основание пирамиды расположено в плоскости Н. Все боковые грани спроецируются в треугольники. Го­ризонтальная проекция s вершины 5 совпадает с центром основания — точ­кой 01. Таким образом, на горизонтальной проекции пирамиды боковые грани будут видимыми, но спроецируются они с искажением, так как располагаются наклонно относительно плоскости Н. Плос­кость основания будет невидимой, так как закрыта боковыми гранями пирами­ды.

При построении фронтальной проекции пирамиды ее основание как плоскость, перпендикулярная к плоскости V, спроецируется в от резок, который совпадает с осью Ох, так как основание лежит в плоскости Н. Боковые грани пирамиды проецируются в треугольники с искажением, так как расположены наклонно относительно плоскости V. Грани 752 и 7S3 будут видимыми, а грань 2S3 — невидимой.

На профильную плоскость проекций основание пирамиды тоже спроециру­ется в отрезок, лежащий на оси Оу. Проекции боковых граней 1S2 и 1S3 на плоскости W совпадают, а грань 2S3 проецируется в прямую линию, так как она расположена перпендикулярно плоскости W. Видимой гранью боковой поверхности будет грань IS2.

2. Построение разверток многогранников

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников - граней, а иногда и некоторых других элементов. Ребра многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания.

П остроение развертки пирамиды

Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.

Развертка поверхности правильной полной пирамиды

Так как боковые ребра правильной пирамиды равны между собой и все грани равнобедренные треугольники, то развертку боковой поверхности пирамиды начинают строить с проведения дуги радиусом, равным размеру ребра боковой поверхности пирамиды. На фронтальную и горизонтальную плоскости проекций ребра пирамиды проецируются с искажением, так как расположены наклонно относительно плоскостей Я и К. На профильной плоскости проекций ребра S 2 и S 3 тоже проецируются с искажением, так как расположены наклонно к плоскости W, а ребро S1 проецируется в натуральную величину, потому что располагается параллельно плоскости W. Радиусом, равным длине ребра S1(s'7"), описывают дугу. На ней от произвольно выбранной точки откладывают три хорды, равные стороне основания. Размер стороны основания берут с горизонтальной проекции пирамиды. Затем для построения основания на развертке из точек 1_о и З_о радиусом, равным стороне основания, про­водят дуги до взаимного пересечения в точке 2_о.

Построение точки, лежащей на поверхности пирамиды

Точка А лежит на боковой поверхности пирамиды, задана ее профильная проекция. Требуется построить фронтальную и горизонтальную проекции этой точки, построить ее на изометрическом изображении пирамиды и на развертке.

Поскольку боковая грань, на которой лежит точка А, располагается наклонно ко всем трем плоскостям проекций, то ни на одну из этих плоскостей она не спроецируется в линию, как это было у правильной пяти­угольной призмы. Построить две про­екции заданной точки можно только с помощью дополнительных построе­ний. Известно, что точка принадле­жит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в данной плос­кости. Поэтому в плоскости 1S2 проводят прямую через точку А. Профильную проекцию этой прямой можно провести в любом направлении через проекцию а" точки А. На эпюре эта проекция проведена через проекцию s" вершины 5 до пересечения со стороной основания 1 "2" в точке 4". Для построения проекций точки А нужно построить проекции дополнительной прямой 5 4 на плоскостях V и Н. Для построения ее горизон­тальной проекции от точек 4" и а" с профильной проекции на горизонтальную проводят линии проекционной связи: из точки 4 —до пересечения со стороной 1 2 в точке 4; из точки а" — до пересечения с построенной прямой s 4 в точке а, которая будет горизонтальной проекцией точки А. Имея две проекции точки А, фронтальную проекцию а' точки А находят с помощью линий проекционной связи

3. Тела вращения.