Раздел 2. Основы начертательной геометрии и проекционное черчение.

Т е м а 2.1. Методы проецирования

Методы проецирования. Плоскости и оси проекций, их обозначение, координаты точек. Проецирование точек, отрезков, плоских фигур.

При изучении темы необходимо усвоить терминологию процесса проецирова­ния, уяснить разницу между центральным и параллельным проецированием. Кроме вышесказанного для лучшего усвоения материала необходимо решить задачи на построение проекций точки, прямой, плоскости и их взаимного расположения.

Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С... или цифрами 1, 2, 3...; прямые — строчными буквами латинского алфавита: а, b, с..., а плоскости — прописными буквами греческого алфавита: Г, Л, П, S, Ф, Ґ, Q.

Между элементами пространства существуют следующие отношения.

Тождественность обозначается знаком ==, например А = В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В.

Инцидентность (или принадлежность) обозначается знаком €. Например, А € а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.

Параллельность обозначается знаком ||. Например, K || L обозначает, что прямая К параллельна прямой.

Перпендикулярность обозначается знаком _|_. Например, a _|_ S обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости S.

Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение, которую обозначают знаком и. Например, запись А и В ~ а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а.

Операцию пересечение обозначают знаком ^. Запись т ^ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых тип получена точка К.

1. М етод проекций

Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Проецирование — это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.

Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты — точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекции п', на которой получается изображение объектов. Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А', т. е. [i ~ A; i ^ п' = А']. Проекцией точки В является точка В', хотя проекция точки В, лежащей в плоскости п', совпала с самой точкой.

Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.

2. Способы проецирования

Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами:

• центральным и

• параллельным.

Сущность центрального способа проецирования заключается в том, что все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций. Полученные проекции А', В', С' называются центральными проекциями точек А, В, С.

Сущность параллельного способа заключается в том, что все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению S, а значит и друг другу. Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При построении проекций А', В', С' этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.

При проецировании совокупность проецирующих лучей образует различные геометрические фигуры. При проецировании прямой линии — это плоскость при проецировании ломаной линии — поверхность призмы или пирамиды, при проецировании кривой линии — коническая или цилиндрическая поверхность. В отличие от проецируемых фигур эти фигуры называют проецирующими.

3. Свойства проекций

Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств.

Проекция точки есть точка.

П роекция прямой есть прямая. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек. Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции п', то ее проекция параллельна самой прямой. При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном — равны им.

П ри параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций: АВ/ВС = А'В'/В'С.

При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные. Если прямые т и п в пространстве параллельны, то и проецирующие их плоскости Sm и Sn тоже будут параллельны. При пересечении их с плоскостью проекций п' получаем т'|| п'.

П роекцией плоскости является плоскость проекций. Плоскость состоит из бесконечного множества точек. При проецировании этого множества проецирующие лучи заполняют все пространство, а их точки пересечения с плоскостью проекций п' — всю п лоскость проекций. Положение любой плоскости в пространстве можно задать тремя очками или двумя прямыми, принадлежащими ей, а также следами.

Прямые и плоскости (поверхности) могут занимать в пространстве проецирующее положение, если с ними совпадают проецирующие лучи.

Все эти геометрические фигуры можно рассматривать состоящими из проецирующих лучей, каждый из которых изображается точкой. Отсюда следует, что проекциями прямых, плоскостей, поверхностей, занимающих проецирующее положение, есть точки или линии их пересечения с плоскостью проекций («вырожденные» проекции).

4. Ортогональные проекции

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка. Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция — катетом: А'В' = AB cos α.

П ри прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину, когда обе стороны его параллельны плоскости проекций, и тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.

5. Обратимость чертежа.

Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция точки не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций. Любая точка проецирующего луча, проходящего через заданную точку, будет иметь своей проекцией одну и ту же точку на плоскости проекций. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа.

6. Проекции точки

Рассмотрим основные принципы прямоугольного проецирования и способ получения ортогонального чертежа в системе трех плоскостей проекций. На рисунке показано р асположение трех плоскостей проекций, с помощью которых получают ортогональный чертеж. Плоскости располагаются под углом 90° друг к другу.

Плоскость Н — горизонтальная плоскость проекций, плоскость V — фронтальная плоскость проекций, плоскость W — профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций, или осями координат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Точка пересечения трех осей координат (точка О) является началом координат, т. е. точкой, от которой ведется отсчет координат по осям Ox, Oy. Oz. Угол, образованный тремя плоскостями проекций, называют координатным углом, так как плоскости проекций являются базами отсчета расстояний (координат) и ограничи­вают пространство плоскостями проекций, в котором располагают проецируемые предметы.

П омещая изображаемый (проецируемый) предмет (геометрическая фигура, модель, деталь и т. п.) в определенное положение относительно плоскостей проекций V, Н и W, фиксируют его положение относительно этих плоскостей, что дает возможность получить взаимосвязанные изображения данного предмета, по которым легко представить его положение в пространстве, его форму. Каждое изображение (проекция) предмета на плоскость отображает то, что мы видим при взгляде на предмет в определенном направлении. Чтобы получить представление о форме предмета, обычно недостаточно рассмотреть предмет с какой-то одной стороны. Проецируя предмет в системе трех плоскостей проекций, его рассматривают с трех сторон, в направлениях, перпендикулярных трем плоскостям проекций.

Получив проекции предмета на трех плоскостях проекций, плоскости координатного угла развертывают в одну плоскость, как показано на рисунке. При этом плоскости Н и W условно разрезают по оси Оу, плоскость Н поворачивают вокруг оси Ох, а плоскость W — вокруг оси Oz, получают одну общую плоскость - плоскость чертежа. При этом ось Оу как бы разрезается пополам. Одна ее «половина» оказывается в плоскости Н и располагается перпендикулярно оси Ох, а другая — в плоскости W и располагается перпендикулярно оси Oz. Cовмещенные плоскости проекций разделяются взаимно перпендикулярными осями, которые определяют на чертеже рабочее поле для построения проекций предмета. Каждая плоскость проекций имеет два измерения по взаимно перпендикулярным направлениям. Для плоскости Н — это оси Ох и Оу, для плоскости V — оси Oz и Ох, для плоскости W- оси Oz и Оу₁.

И зображения, полученные на плоскостях координатного угла и совмещенные в одну плоскость, называют эпюром или ортогональным чертежом. Рассмотрим построение эпюра точки.

П роецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости Н — горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости Н. На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки - А.

Для получения изображения точки А на плоскости V через точку А про­водят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа_х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а_х, луч пересечет плоскость V в точке а'. Проведя из точки а_х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а'. Точка а' является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоск ости V.

Изображение точки А на профильной плоскости проекций строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки а_у параллельно оси Оz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W. Точку а" можно построить, проведя от точки а' отрезок а'а₂ (изображение проецирующего луча Аа" на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а_z — отрезок а"а_z парал­лельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проеци­рующие лучи Аа, Аа' и Аа" убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Oy и Ох, Оу_х.

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния — Аа', Аа и Аа" (что хорошо видно на последнем рисунке), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле. Отрезки а'а_z, аа_у и Оа_х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников. Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а'а_х, а"а_У1 и Оа_г равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа_х, а"а_z и Оа_У1 равны отрезку Аа', определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.

Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_г, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а'а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох, а отрезки а'а_z и а"а_z — к оси Oz. Эти линии называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а_х и а_z соответственно. Линия проекции) ной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а_у.

Координатами называют числа, которые служат для определения по­ложения точки в пространстве. Ко­ординату х называют абсциссой, у - ординатой и z - аппликатой. Абсцисса определяет расстояние точки от плос­кости W, ордината от плоскости V и аппликата от плоскости H. На­пример, при построении точки по ко­ординатам X = 30, у — 20, z = 18 сле­дует отложить по оси абсцисс 30 мм, по оси ординат 20 мм, а по оси аппликат 18 мм.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка 0). Если даны две проекции точки, то по ним можно найти третью проекцию, так как все проекции связаны между собой линиями связи. Для этого проводим прямую под углом 45° к оси У или проводим дугу из точки О, соединяющую линию связи.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

П ример 1. Определение координат точки 1 заданной на эпюре двумя проекциями. Измеряются три отрезка: отрезок Оb_Х (координата X), отрезок b_Хb (координата Y) и отрезок b_Хb' (координата Z). Координаты записывают в следующем порядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В(20; 30; 15).

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С(ЗО; 10; 40). На оси Ох находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси 0х от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х . Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки с, вниз откладывают координату Y (размер 10), получают точку с — горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с’ - фронтальн ую проекцию точки С.

С пособы переноса проекций:

Ч астные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

1. П оложение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 190 (из учебника Миронова Р.С., Миронов Б.Г. Инженерная графика. М., 2001.) координата Y точки А определяется отрезком аа_х — расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а'а_х — расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рисунке приведены примеры раз­личного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b_х. Координата Y точки С равна нулю, точка располагается на плоско­сти V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

На рисунке координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D нахо­дится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

7. П роекции прямой

При проецировании прямой на какую-либо плоскость проекций проецирующие лучи, проходящие через точки прямой, образуют проецирующую плоскость, которая пересекает плоскость проекции по прямой. Следовательно, проекцией отрезка будет отрезок прямой. Чаще всего проекция отрезка меньше самого отрезка, так как его проекция (ab) является частью катета прямоугольного треугольника (ВbМ), а отрезок (АВ) частью гипотенузы. Так как Mb < MB, то ab<AB. Отношение проекции отрезка к натуральной величине называют коэффициентом и скажения. Коэффициент искажения обозначают буквой К.

Положение прямой в пространстве можно определить двумя ее точками, поэтому, чтобы задать прямую на эпюре, достаточно задать проекции двух ее точек, т. е. проекции отрезка этой прямой. Данные проекции отрезка прямой полностью определяют положение прямой в пространстве.

Сравнивая координаты точек А и В, являющихся концами отрезка, можно представить себе, как располагается отрезок в пространстве. Точка В находится выше точки А относительно плоскости Н, так как b'b_х>а'а_х, т. е. Z_B>Z_A, и точка В ближе к плоскости V, чем точка А, так как bb_x<aa_x, т. е. Y_B<Y_A.

Различные случаи расположения прямых относительно плоскостей проекций:

• Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, т. е. ни одна из проекций этой прямой не пар аллельна какой-либо оси проекций.

• Прямые уровня:

1. Г оризонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Н. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плос­кости Н, т. е. координаты Z всех точек отрезка ВС равны между собой, Bb = Сс = b'b_y=c'c_x = Z_B = Z_c. Фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси Ох. Положение второй проекции относительно оси Ох определяется поло­жением самой прямой. Угол наклона горизонтальной прямой к плоскости V — . На плоскость Н отрезок гориз онтальной прямой проецируется в натуральную величину.

2. Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости V. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости V, т. е. координаты Y всех точек отрезка CD равны между собой. Горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси Ох (рис. 194,б). Положение второй проекции относительно оси Ох опреде­ляется положением самой прямой. Угол наклона фронтальной прямой к плоскости Н — а. На плоскость V отрезок фронтальной прямой проецируется в натуральную величину.

3. П рофильная прямая - прямая, па­раллельная плоскости W. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости W, т. е. координаты X всех точек отрезка DE равны между собой. Фронтальная проекция профильной прямой параллельна оси Oz, а горизонтальная — оси Оу. Положение профильной проекции определяется положением самой профильной прямой. Угол наклона - профильной прямой к плоскости Н — α, к плоскости V — β. На плоскость W отрезок профильной прямой проецируется в н атуральную величину.

• П рямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называют проецирующими прямыми.

1. Горизонтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости Н. Проекция такой прямой на плоскости Н является точкой, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оz. На плоскость V прямая проецируется в натуральную величину.

2. Ф ронтально-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости V. Проекция этой прямой на плоскость V является точкой, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Оу. На плоскость Н прямая проецируется в нату­ральную величину.

3. Профильно-проецирующая прямая перпендикулярна плоскости W. Проекция этой прямой на плоскость W является точкой. Ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Оу и параллельна оси Ох, а фронтальная — перпендикулярна оси Oz и параллельна оси Ох (рис. 198). Н а плоскости Н и V прямая проецируется в натуральную величину.

8. Способы задания плоскости на эпюре

Положение плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому чтобы задать на эпюре плоскость, достаточно задать три ее точки. Плоскость можно задать точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми, треугольником. Можно задать плоскость сле­дами.

С ледом плоскости называют прямую, по которой данная плоскость пересекает плоскость проекций. На рисунке P_v — фронтальный след плоскости Р, Р_н — горизонтальный след плоскости Р, P_w — профильный след плоскости Р.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается метод проецирования?

2. Какова разница между центральным и параллельным проецированием?

3. Какие проекции называются прямоугольными?

4. При каком положении прямой, одна из ее проекций точка?

5. Какое положение занимает точка в пространстве, если ее фронтальная проек­ция лежит на оси проекций?