8. Перенос нейтронов. Диффузия как непрерывная модель переноса нейтронов (Крюч. С42).

Рассмотрим баланс нейтронов в элементарном пространственном объеме ΔV с поверхностью ΔS, расположенным около точки .Баланс нейтронов отражает закон сохранения нейтронов в объеме, т.е. тот факт, что разность между скоростью генерации нейтронов в объеме и скоростью исчезновения нейтронов из объема есть скорость изменения числа нейтронов в объеме. В результате получим уравнение:

Первый член этого уравнения описывает разность между скоростью утечки через границу объема и скоростью «втечки» нейтронов через туже границу, второй – скорость поглощения нейтронов в единице объема, третий – скорость появления нейтронов в результате деления ядер среды в единичном объеме, четвертый – скорость генерации нейтронов внешним (заданным) источником в единичном объеме.

Для расчета скорости реакции i-го типа взаимодействия нейтронов с ядрами среды в фазовом объеме необходимо соответствующее типу реакции макроскопическое сечение умножить на плотность потока нейтронов и на величину фазового объема. С учетом этой зависимости скорость реакций поглощения нейтронов и генерации нейтронов определяются выражениями:

Если задана функция распределения мощности внешних источников нейтронов - , то скорость генерации нейтронов в фазовом объеме внешними источниками записывается как .

Член утечки можно записать следующим образом, если в ходе математических преобразований использовать теорему Остроградского-Гаусса и принять во внимание, что рассматриваемый объем – элементарный:

.

Плотность потока нейтронов есть произведение плотности нейтронов на объем.

Учитывая все выше полученные выражения и подставляя их в общее уравнение, сократим на ΔV, получим уравнение баланса скоростей процессов в единичном фазовом объеме:

Уравнение получено в рамках следующих предположений:

• Все функции – статистические величины;

• Нейтрон рассматривается как точечная частица;

• Взаимодействия нейтрон-нейтрон не учитываются;

• Нейтрон – стабильная частица;

• Все нейтроны имеют одну и ту же энергию.

Используем закон Фика. Закон Фика – уравнение, которое в рамках дополнительных предположений устанавливает связь между плотностью потока нейтронов и вектором тока нейтронов. Дополнительные предположения состоят в том, что рассматриваем перенос нейтронов в большой, слабо поглощающей среде, состоящей из тяжелых ядер, далеко (более 2-х, 3-х длин свободного пробега) от локальных неоднородностей (внешние локализованные источники, граница между двумя средами, граница среда-вакуум), макросечение рассеяния слабо зависит от пространственной переменной.

Подставляя это выражение в уравнение баланса скоростей, получим уравнение диффузии для моноэнергетических нейтронов:

9. Основные процессы, влияющие на баланс нейтронов в размножающих средах. Коэффициент размножения бесконечной размножающей среды и его составляющие. Потенциальная возможность осуществления самоподдерживающейся реакции деления (Сав. с56).

 = числу быстрых нейтронов, которые замедлились до энергии ниже порога деления U-238, отнесённому к одному быстрому нейтрону, появившемуся при делении U-235 тепловыми нейтронами. Если предположить, что в начальный момент времени в мультиплицирующей среде число нейтронов от деления U-235 есть n₀, то за счёт деления U-238 быстрыми нейтронами оно возрастёт до значения n₀. Эти нейтроны, сталкиваясь с ядрами среды, замедляются до энергии ниже порога деления U-238.

 - вероятность того, что быстрый нейтрон в процессе замедления избежит радиационного захвата (вероятность избежать резонансного захвата).

Таким образом, до тепловой энергии замедляются n₀ нейтронов. Если ввести коэффициент , определив его как вероятность захвата теплового нейтрона делящимся веществом, (его называют коэффициентом использования тепловых нейтронов), то ядрами горючего (U-235) будет захвачено n₀ нейтронов.

- среднее число нейтронов деления на один захваченный тепловой нейтрон в U-235. , где - среднее число нейтронов деления. - вероятность реакции деления при захвате U-235 теплового нейтрона. Таким образом, если пренебречь делением U-235 на замедляющихся нейтронах, то во втором поколении число быстрых нейтронов деления возрастёт до значения .

Отношение числа нейтронов второго поколения к числу нейтронов первого поколения называют коэффициентом размножения в бесконечной однородной среде или просто . = / = . Это выражение называется формулой четырёх сомножителей для . Описывает размножение нейтронов в сильно замедляющей среде, когда основная доля процессов деления приходится на тепловые нейтроны.

Предположим, что один нейтрон поглощается в ядерном горючем и при этом возникает вторичных нейтронов, . Каждый вторичный нейтрон деления имеет некоторую вероятность вызвать деление сырьевого нуклида, в области энергий выше порога деления и дать прирост числа вторичных нейтронов до величины Если реактор больших размеров, то можно пренебречь утечкой нейтронов, В этом случае можно считать, что все вторичные нейтроны с энергией ниже порога деления заканчивают свой жизненный цикл внутри активной зоны, а именно: один нейтрон идет на поддержание цепного процесса, часть нейтронов позлащается в конструкционных материалах, а остальные нейтроны поглотятся сырьевым нуклидом. Эти нейтроны произведут новое горючее с коэффициентом воспроизводства КВ, численно равным количеству атомов вновь образовавшегося горючего на один атом сгоревшего исходного ядерного горючего.

10. Демонстрация возможности создания критического реактора на примере одномерной модели с одной группой нейтронов. Понятие материального и геометрического параметров. Эффективный коэффициент размножения и условие критичности (Сав.95).

Рассмотрим стационарное уравнение диффузии для моноэнергетических нейтронов в условиях применимости закона Фика (большая, слабопоглощающая среда, состоящая из тяжелых ядер, далеко (более 2х-3х длин свободного пробега) от локальных неоднородностей (локаллизованые источники, граница раздела двух сред, граница среда-вакуум) основной процесс взаимодействия ядро-нейтроно – это рассеяние):

,

Где - коэффициент размножения нейтронов в бесконечной среде, - квадрат длины диффузии, - материальный параметр среды, зависящий только от свойств мультиплицирующей среды.

Итак, общая постановка задачи в одногрупповой теории такова: требуется найти ограниченное положительное решение уравнения с граничными условиями С математической точки зрения сформулированная выше задача является задачей на определение собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа Как правило, это задача имеет счетное множество линейно независимых решений , причем каждой собственной функции соответствует собственное число , причем для этих чисел имеет место следующее соотношение Наименьшему собственному значению соответствует знакопостоянная собственная функция , а все остальные собственные функции являются знакопеременными в области изменения координат внутри активной зоны. Следовательно, поставленная стационарная задача имеет решение только в том случае, когда , причем функция распределение потока нейтронов имеет вид

где C – произвольное положительное число. Равенство означает, что для заданной формы тела существуют такие размеры, при которых в ограниченной размножающей среде возможен стационарный процесс деления ядер. Соответствующие размеры такой среды называются критическими размерами, а отвечающим этим размерам объем мультиплицирующей среды – критическим объемом. Масса делящегося вещества в такой среде называется критической массой. По определению эффективным коэффициентом размножения называется такое число, на которое надо разделить источник нейтронов деления, чтобы реактор стал критическим.

Производя обычные преобразования, приведем уравнение к виду:

Это уравнение называется уравнением условно критического реактора. Если реактор был критическим, то . Следовательно, эта величина подобна коэффициенту размножения бесконечной среды. Условие критичности реактора позволяет выразить эффективный коэффициент размножения через нейтронно-физические характеристики размножающей среды и геометрический параметр активной зоны, а именно:

Найдем критические размеры размножающей среды для различных геометрических форм активной зоны, граничащей с вакуумом.

Активная зона реактора в форме шара. Из условия критичности видно, что реактор может находиться в стационарном состоянии при определенном значении R Этот радиус и является критическим радиусом для сферической активной зоны. Общее решение имеет произвольную постоянную С, которая характеризует мощность реактора. Произвольность константы отражает тот факт, что критический реактор может иметь произвольную мощность.

Реактор в форме цилиндра конечной высоты.

а условие критичности будет иметь вид _{H или R -> беск.}