Тема 6.1
Вправа 6. Використовуючи тотожності бульової алгебри, звести до нормальної форми та визначити чи є абсолютно істинними або абсолютно хибними такі висловлювання:
1) А ~ (B /\ 7A) С 2) A /\ 7B ~ A 7C
3) (B \/ А) ~ (B /\ C) 7А 4) B 7С ~ A 7С
5) (B \/ 7A) (B /\ C) \/ (B /\ 7C) 6) A (B \/ C) \/ (7B \/ C)
7) A \/ B 7A \/ C ~ A /\ C 8) (A B) \/ (7A /\ C)
9) A B ~ 7А B 10) A B ~ А 7B
11) 7А (A B) 12) (7B 7A) ((7B A) B).
А ~ (B /\ 7A) С=A~((B/\7A) C)=A~(7(B/\7A)\/C)=
(A /\ (7B \/ A \/ C) \/ (7A /\ 7(7B \/ A \/ C)))=
(A /\ (7B \/ A \/ C)) \/ (7A /\ (B /\ 7A /\ 7C))=
((A /\ 7B) \/ (A /\ A) \/ (A /\ C)) \/ (7A /\ B /\ 7C))=
(A /\ 7B) \/ A \/ (A /\ C) \/ (7A /\ B /\ 7C)
(A /\ 7B) ~ (A 7С)
(A /\ 7B) ~ (7A \/ 7С)
((A /\ 7B) /\ (7A \/ 7С)) \/ (7(A /\ 7B) /\ 7(7A \/ 7С))=
((A /\ 7B) /\ (7A \/ 7С)) \/ 7((A /\ 7B) \/ (7A \/ 7С))=
((A /\ 7B) /\ 7A) \/ ((A /\ 7B) /\ 7C) \/ 7(((A /\ 7B) \/ 7A \/ 7С))=
F \/ ((A /\ 7B /\ 7C) \/ 7((A /\ 7B) \/7A \/ 7С)=
F \/ (A /\ 7B /\ 7C) \/ (7(A /\ 7B) /\ A /\ С)=
F \/ (A /\ 7B /\ 7C) \/ ((7A \/ B) /\ (A /\ С))=
F \/ (A /\ 7B /\ 7C) \/ ((A /\ C /\ 7A) \/ (A /\ C /\ B))=
F \/ (A /\ 7B /\ 7C) \/ F \/ (A /\ B /\ C)=
(A /\ 7B /\ 7C) \/ (A /\ B /\ C)
(B \/ А) ~ (B /\ C) 7А
(B \/ А) ~ (7(B /\ C) \/ 7А)=
(B \/ А) ~ 7(B /\ C /\ 7А)=
((B \/ А) /\ (B /\ C /\ 7А)) \/ (7(B \/ А) /\ 7(B /\ C /\ 7А))=
(B /\ C /\ 7А /\ B) \/ (B /\ C /\ 7А /\ А) \/ ((7B /\ 7А) /\ (7B \/ 7C \/ А))=
((B /\ C /\ 7А) \/ F) \/ (((7B /\ 7A /\ 7B) \/ (7B /\ 7А /\ 7C) \/ (7B /\ 7A /\ А))=
(7А /\ B /\ C) \/ (7A /\ 7B /\ 7C) \/ (7А /\ 7B)
B (7С) ~ A (7С)
(((B (7С)) A) (7С))=
((7B \/ 7С) A) (7С)=
(7(7B \/ 7С) \/A) (7С)=
((B /\ С) \/A) (7С)=
((A \/ B) /\ (A\/C)) (7С)=
7((A \/ B) /\ (A\/C)) \/ 7С=
(A \/ B) /\ (A\/C) /\ С=
(B \/ 7A) (B /\ C) \/ (B /\ 7C)
(B \/ (7A)) (B /\ C) \/ (B /\ (7C))=
(B \/ 7A) B \/ (C /\ 7C)=
B \/ 7A B \/ F=
B \/ 7A B =
7(B \/ 7A) \/ B =
(7B /\ A) \/ B =
(B \/ 7B) /\ (B \/ A)=
B \/ A
A (B \/ C) \/ (7B \/ C)
(A ((B \/ C) \/ (7B \/ C)))
A C \/ (B \/ 7B)
A T
7A \/ T
T – абсолютно істинне
A \/ B 7A \/ C ~ A /\ C
((A \/ B) (7A \/ C)) ~ (A /\ C)
((7A /\ 7B) \/ (7A \/ C)) ~ (A /\ C)
(((7A /\ 7B) \/ (7A \/ C)) /\ (A /\ C)) \/ (7((7A /\ B) \/ (7A \/ C)) /\ 7(A /\ C))=
((7A \/ C \/ 7A) /\ (7A \/ C \/ 7B) /\ (A /\ C)) \/ (7((7A \/ C) /\ (7A \/ 7B \/ C)) /\ 7(A /\ C))=
(A /\ C /\ (7A \/ C) /\ (7A \/ C \/ 7B)) \/ (7(7A \/ 7B \/ C)) /\ (7A \/ 7C))=
(A /\ C /\ (7A \/ C)
=(A/\C)\/(7B/\C)\/(A/\B/\7C)
8.(AB)\/(7A/\C)
(7A\/B)\/(7A/\C)
(7A\/B\/7A)\/(7A\/B\/C)
(7A\/B)/\(7A\/B\/C)
9.(AB)~(7AB)
(7A\/B)~(A\/B)
((7A\/B)/\(A\/B))\/ (7(7A\/B)/\7(A\/B))
(B\/(7A/\A)\/((A/\7B)/\(7A/\7B)
B\/F\/F
AB~A7B
(7A\/B)~(7A\/7B)
((7A\/B)/\(7A\/7B))\/(7(7A\/B)/\7(7A\/7B))=7A\/(B/\7B)\/A/\(7B/\B)=7A\/A=T
Тема 6.2
Вправа 3. Використовуючи властивість повноти числення висловлювань L довести, що формули із вправи 1 є теоремами.
Вправа 9. Розглянемо інтерпретацію числення висловлювань L, яка складаеться з множини D = {I,X} та відповідності, згідно з якою висловлювання С, В набувають значення І, а A - значення X.
Встановити значення істинності при цій інтерпретації таких формул:
1) (A B) (BA) 2) (7A (B7B) A)
3) (7А7B) (BА) 4) (А7В) (7АВ)
5) (7АА) А 6) А(B7(А7B))
7) (АB) (А(BC)) 8) (А (BС)) (BC).
Вправа 15. Нехай колами Ейлера задане співвідношення множини формул Ф, множини абсолютно істинних формул І, множини теорем Ψ, множини аксіом А числення виоловливань Lr. Встановити властивості числення висловливань Lr та можливість його визначення.
Вправа 18. Нехай для довільних формул A, A1,…, An в численні L виконується умова A1,…, An |—A та 7A1,…, 7An |—A. Чи можна тоді стверджувати, що в численні L |—A.
Вправа 21. Побудуємо числення висловлювань L’, добавивши до мови числення висловлювань L зв’язки ,, та схеми аксіом числень висловлювань L1 та L2 до аксіом числення висловлювань L. Як зміняться модельні властивості числення висловлювань L’ відносно модельних властивостей числення висловлювань L.
Відповідь:
3. Так як всі формули з вправи 1 є підмножинами всіх формул числення висловлювань L, та всі вони складаються з аксіом та інших формул множини висловлювань, то всі вони є теоремами на численні висловлювань L.
9.
I |
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
Отже, формули 1, 3, 5, 6, 7 і 8 є абсолютно істинними при цій інтерпретації.
15.Варінти кіл Ейлера.
Оскільки А не І, то не кожна аксіома - абсолютно істинна формула. Тому існування як абсолютно істинних, так і тих, що не є абсолютно істинними теорем можливе. Теорія Lr не має практичної цінності, так як І повинне бути підмножиною Ψ.
Оскільки А І, то всі аксіоми є абсолютно істинними. І співпадає з Ψ, тому всі теореми є абсолютно істинними. Ця теорія втрачає практичну цінність, так як Ф повинна свівпасти з Ψ.
Оскільки А не І, то не кожна аксіома - абсолютно істинна формула. Тому існування як абсолютно істинних, так і тих, що не є абсолютно істинними теорем можливе. Теорія Lr має практичну цінність.
Оскільки А І, то кожна аксіома - абсолютно істинна формула. Тоді існування теорем, які не є абсолютно істинними формулами, неможливе, якщо правила виведення мають властивість зберігати абсолютну істинність висновків при абсолютній істинності засновків, або можливе, якщо правила виведення числення цієї властивості не мають, але тоді теорія Lr, втрачає практичну цінність і множини Ф та Ψ повинні співпадати.
Оскільки А І, то всі аксіоми є абсолютно істинними. Тоді існування
теорем, які не є абсолютно істинними формулами, неможливе, якщо правила виведення мають властивість зберігати абсолютну істинність висновків при абсолютній істинності засновків, або можливе, якщо правила виведення числення цієї властивості не мають.
Оскільки А не І, то не кожна аксіома - абсолютно істинна формула. Тому існування як абсолютно істинних, так і тих, що не є абсолютно істинними теорем можливе. Так як Ф та Ψ співпадають, то кожна формула числення є теоремою.
18. Так, можна, оскільки вона виконується для всіх висловлювань A, A1,…, An на множині L;
21.Не зміняться.