3. Суми Дарбу та їх властивості.

Поки що ми бачимо повну аналогію, порівняно з визначеним (однократним) інтегралом, для подвійних інтегралів по прямокутнику. Тому і теорему Дарбу можна повністю перенести на двомірний випадок.

Для обмеженої функції у прямокутнику і заданого -розбиття цього трикутника складемо дві суми:

, де , (2.7)

, де , (2.8)

, .

Ці суми називають відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу. Ці суми мають властивості, аналогічні сумам Дарбу у випадку одномірного інтеграла.

Властивість 1. Для довільного розбиття прямокутника R і довільного вибору точок , , інтегральна сума задовольняє нерівність

.

Доведення. Очевидно, що для довільного -розбиття прямокутника і точок правильна нерівність

, ,

Помножимо її на :

,

і просумуємо по ,

,

або

,

що і треба було довести. ■

В ластивість 2. Якщо -розбиття є подрібненням -розбиття прямокутника , то

. (2.9)

тобто нижні суми Дарбу не можуть спадати, а верхні – зростати.

Доведення. Для доведення цієї властивості досить розглянути той випадок, коли -розбиття відрізняється від -розбиття тільки однією прямою, паралельною, наприклад, до осі . Її рівняння , .

Тоді у прямокутнику з’являться у -розбитті на прямокутників більше (рис 2.3).

.

Оскільки , то

,і

.

Аналогічно доводиться, що . ■

Властивість 3. Для довільних і -розбиттів прямокутника правильна нерівність

s(T₁)≤S(T₂), (2.10)

або нижня сума Дарбу не може перевищувати верхню суму Дарбу, навіть якщо вони взяті по різних розбиттях.

Доведення. Розглянемо два різних, ніяк не зв’язаних між собою і -розбиття прямокутника . Їм відповідають відповідно нижня і верхня суми Дарбу:

і , .

Об’єднаємо перше і друге розбиття прямокутника .

Таке зображення прямокутника дає -розбиття, яке є подрібленням як -розбиття, так і -розбиття.

Тому за властивістю 2 маємо:

,

Звідки . ■

Наслідок. Якщо зафіксувати -розбиття прямокутника , тоді існує

.

Аналогічно, якщо зафіксувати (Т₁)-розбиття прямокутника тоді існує

,

.

Означення 2.2. Числа і називають відповідно нижніми та верхніми інтегралами Дарбу функції на прямокутнику .

З властивостей 1-3 і означення 2.2 випливає, що

-розбиття прямокутника .

4. Достатні умови інтегровності.

Можна довести, що нижні та верхні інтеграли Дарбу є не тільки відповідно верхньою та нижньою гранню інтегральних сум Дарбу, але і їх границею за умови, що .

Теорема 2.2. Якщо функція обмежена на прямокутнику , то

, (2.11)

Доведення можна прочитати у підручнику [Кудр. т.2].

Теорема 2.3. Для того щоб визначена і обмежена на прямокутнику функція була інтегровною на цьому прямокутнику, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з умов:

1^о. , причому .

2^о. -розбиття прямокутника : (2.12)

Доведення. Необхідність. Нехай функція інтегровна на прямокутнику , отже вона обмежена на і для довільного -розбиття цього прямокутника маємо:

або 1) 2)

1) 2)

Нерівності 2) домножимо на площу прямокутника і просумуємо їх по й :

,

,

або

і

.

В останніх нерівностях перейдемо до границі при і, враховуючи теорему 2.2, маємо:

і ,

або

,

остаточно маємо:

.

Верхній і нижній інтеграл Дарбу є числами, тому якщо їхня різниця нескінченно мала величина, то це означає лише те, що ці інтеграли рівні:

.

Перший висновок теореми доведено. А для того, щоб довести другий висновок, використаємо наслідок з властивості 3.

або 1) -розбиття : 2) -розбиття : .

або 1) -розбиття : 2) -розбиття : .

Нехай -розбиття прямокутника є подрібненням як -розбиття, так і -розбиття. Використаємо властивості 1-3 сум Дарбу:

,

звідки

,

Оскільки . Що й треба було довести.

Достатність. Нехай для обмеженої на прямокутнику функції виконується рівність . Тоді в нерівності

Перейдемо до границі при , враховуючи рівність (2.11), отримаємо

,

звідки , тобто функція інтегровна.

Якщо ж виконується нерівність (2.12), то з нерівностей наслідку властивості 3 матимемо:

,

,

тобто . Далі залишається використати вищенаведені міркування з достатності. ■

Приклад 3. Для функції , визначеної в прямокутнику , скласти нижню і верхню суму Дарбу та знайти їх границі, розбивши прямокутник прямими , , на елементарні прямокутники.

Розв’язання. Площа кожного квадрата з -розбиття . Для того щоб скласти нижню і верхню суми Дарбу, потрібно знайти і

. Найменше і найбільше значення функції на обмеженій замкненій множині (компакті) можна знайти, скориставшись відомим правилом з ДЧФБЗ. Однак у даному випадку функція означає квадрат відстані від точки до початку координат, тому

,

Перейшовши в останніх рівностях до границі при ,отримаємо

,

.

Отже, . ■

29