Означення подвійного інтеграла для функцій двох змінних.
Розглянемо
довільну функцію
,
визначену на прямокутнику
(рис.
2.1).
Розіб’ємо
відрізки
і
на елементарні відрізки точками
,
.
Тоді
прямокутник R
розіб’ється
на елементарні прямокутники
,
,
.
Вказане
розбиття прямокутника
позначимо через
.
Розбиття прямокутника
,
що отримане з
-розбиття
додаванням прямих, паралельним
координатним осям Ox
і Oy,
називають подрібненням
-розбиття
і позначають
.
Площа кожного елементарного прямокутника
обчислимо за відомою формулою з геометрії:
,
,
.
Довжину
діагоналі прямокутника
,
яка дорівнює
,
називають діаметром
цього прямокутника, а найбільший з
діаметрів всіх елементарних прямокутників
називають діаметром
-розбиття
прямокутника
і
позначають
На
кожному елементарному прямокутнику
виберемо довільну точку
,
,
і обчислимо значення функції у цій точці
.
Це значення посножио на площу відповідного
елементарного прямокутника і просумуємо
nm
таких
добутків:
(2.3)
Означення
2.1.
Суму
вигляду (2.3) називають інтегральною
сумою функції
,
побудованою по заданому
-розбиттю
прямокутника
і
заданому вибору точок
,
,
.
Означення
2.2.
Якщо інтегральна сума (2.3) має при
скінченну
границю
(2.4)
І
якщо ця границя (число) не залежить ні
від
-розбиття
прямокутника
на елементарні прямокутники, ні від
вибору точок
в елементарних прямокутниках
,
,
,
то ця границя називається подвійним
інтегралом функції
,
поширеним на область
,
і позначається символом
(2.5)
Функція
при
цьому називається інтегровною у
прямокутнику
,
а
– областю інтегрування.
Отже, подвійний інтеграл:
Приклад
1. Обчислити
подвійний інтеграл
,
розглядаючи ого як границю інтегральної
суми. Область інтегрування розбити
прямими
,
,
і значення функції обчислювати у правих
верхніх вершинах цих квадратів.
Р
озв’язання.
Площа кожного квадрата з
-розбиття
,
,
а значення функції
у вершині квадрата
дорівнює:
,
.
Тому
. ■
Зауваження.
Для визначеного (однократного) інтеграла
ми доводили, що якщо функція
інтегрована на відрізку
,
то вона обов’язково
обмежена на цьому відрізку. Виявляється,
що можна довести аналогічну теорему
для подвійного інтеграла у випадку
прямокутника
.
Теорема
2.1.
Якщо функція
інтегровна у прямокутнику
,
то вона обмежена на ньому.
Доведіть цю теорему самостійно, аналогічно до визначеного інтеграла, використовуючи метод від супротивного.
Отже, необхідною умовою інтегровності функції у прямокутнику є її обмеженість. Проте, не всяка обмежена в області функція є інтегровною
Наприклад, розглянемо функцію
(2.6)
Ця
функція обмежена, оскільки
:
.
Однак
вона не є інтегровною. Щоб це довести,
покажемо, що границя інтегральної суми
залежить від вибору точки
.
Спочатку будемо вибирати точки
так, щоб обидві координати були
раціональними числами (це завжди можна
зробити в силу неперервності множини
дійсних чисел). Тоді
.
Якщо ж
принаймні одна координата
або
є
ірраціональне число, то
.
Отже, границя інтегральної суми залежить від вибору точок в елементарних прямокутниках, тому обмежена функція (2.4) не є інтегровною на цьому прямокутнику R.