Лекція 2

Тема 11.76. Означення і умови існування подвійного інтегралу.

План

1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла.

2. Означення подвійного інтеграла для функцій двох змінних, визначеної на прямокутній області.

3. Необхідні умови інтегровності.

4. Суми Дарбу та їх властивості.

5. Достатні умови інтегровності.

1. Задачі, що приводять до подвійного і потрійного інтегралів.

Раніше ми розглядали визначений інтеграл і з його допомогою розв’язували важливі задачі про обчислення площі плоскої фігури, про знаходження шляху, пройденого матеріальною точкою, про обчислення маси неоднорідного стержня при відомій лінійній густині цього стержня.

Можна сформулювати аналогічні багатомірні задачі, що приводять до подвійного і потрійного інтегралів.

Задача 1. Про обчислення маси плоскої замкненої області.

Нехай маємо плоску замкнену область (фігуру), суцільно заповнену масою. Треба обчислити масу цієї області. Припустимо, що густина цієї області змінюється при переході від точки до точки, тобто є функцією точки .

Домовимось також розглядати тільки квадровні плоскі фігури, тобто такі, що мають площу. Область має площу .

З поняттям площі ми вже зустрічались при вивченні визначеного інтеграла.

Якби густина деякої фігури була сталою , тобто фігура була однорідною, то її масу можна було б обчислити за формулою

Якщо фігура неоднорідна, то скористатися цією формулою не можна. Тобі розіб’ємо область кривими нульової площі на частинних областей , площу яких відповідно позначимо .

Розглянемо -ту частинну область . Візьмемо в цій області в цій області довільну точку і припустимо, що розбиття області настільки щільне, що густина в кожній частинній області мало змінюється. Тоді можна вважати, що густина в області є сталою і дорівнює, наприклад, . У цьому разі маса області наближено дорівнюватиме

,

а маса всієї області виразиться формулою

(2.1)

Сума, що стоїть у правій частині рівності (2.1), ти точніше визначатиме значення маси даної області , чим менші розміри цих областей . Зменшити розміри цих областей можна за рахунок зменшення їх діаметрів, тому

(2.2)

Отже, задача про обчислення маси плоскої замкненої області зводиться до обчислення границі виду (2.2). Ця границя, якщо вона існує називається подвійним інтегралом.

.

Подібно до того, як задача про площу криволінійної трапеції привела нас до поняття простого означення інтегралу , аналогічна задача про об’єм циліндричного тіла приведе нас до нового поняття – подвійного (визначеного) інтегралу.

Задача 2

Розглянемо тіло , як зверху обмежене поверхнею , з боків – циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , і знизу – плоскою фігурою на площині . Потрібно знайти об’єм тіла.

Для розв’язання цієї задачі застосуємо звичайний в інтегральному численні прийом, який полягає в розкладі шуканої величини на елементарні частини, приблизному підрахуванню кожної частини, сумуванню і наступному граничному переходу.

Ц цією метою розіб’ємо квадровну область сіткою кривих нульової площі на частини і розглянемо ряд циліндричних стовпців, які мають основою і в сукупності складають одне тіло.

Для підрахування об’єму окремих стовпців візьмемо довільно в кожній фігурі точку . Якщо приблизно прийняти кожний стовпчик за справжній циліндр з висотою , то об’єм кожного стовпчика приблизно рівний де - означає площу фігури .

Тоді приблизний об’єм всього тіла .

Щоб підвищити точність цієї рівності, будем зменшувати розміри площадок , збільшуючи їх число

коли найбільший з діаметрів всіх областей .