Контрольная работа

по дискретной математике для

студентов заочного отделения СурГУ,

обучающихся по направлениям «УТС»,

«ИТСС», «ИВТ» (бакалавриат).

Номер варианта определяется последней цифрой студбилета (зачетной книжки). Если номер билета оканчивается на 0, то это десятый вариант. Задания нумеруются следующим образом. Например, задание 3.4. означает, что это третье задание четвертого варианта.

Рекомендуемая литература.

1. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика. – М. Вузовская книга, 1999.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вальский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М. Энергоатомиздат, 1998.

3. Лавров А.И., Максимов Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М. Наука, 1982.

4. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М. Изд-во МАИ, 1999.

5. Кожухов С.Ф. Дискретная математика: Булевы алгебры. - Сургут, ИЦ СурГУ, 2008.

6. Кожухов С.Ф. Дискретная математика: Замкнутые и полные классы булевых функций. – Сургут, ИЦ СурГУ, 2008.

7. Кожухов С.Ф. Дискретная математика: Минимизация булевых функций. – Сургут, ИЦ СурГУ, 2009.

8. Кожухов С.Ф., Дубовик О.А., Совертков П.И., Мухутдинова Д.Р. Задачи по дискретной математике: Булева алгебра и комбинаторика. – Сургут, ИЦ СурГУ, 2011.

Задание №1.

Доказать равенство множеств:

а) исходя из определения равенства множеств;

б) Преобразуя левую (или правую) часть равенства в правую часть (соответственно, в левую);

в) используя характеристические функции и представляя множества с помощью булевых векторов.

1.1. A \ (A B) = \

1.2. A (B \ C) = (A B) \ C

1.3. (A \ B) (B \ A) (A B) = A B

1.4. (A B) \ (A C) = (A B)\C

1.5. (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C)

1.6. (A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D)

1.7. (A B) (A )=A

1.8. (A B) (B C) (C A)=(A B) (B C) (C A)

1.9. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C)

1.10. A (B \ C) = (A B) \ (A C)

Задание №2.

на множестве А(в каждом варианте А – конкретное множество) задано бинарное отношение . Какими из свойств (рефлективность, симметричность, транзитивность и т.д.) оно обладает?

2.1. а) А – множество натуральных чисел, и для любых x, y А имеем x y x и y взаимно просты.

б) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем x y tgx tgy.

2.2. а) А – множество квадратных трехчленов с действительными коэффициентами и для любых имеем имеют хотя бы один общий корень.

б) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем .

2.3. а) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем .

б) А – множество квадратных матриц одного порядка и для любых X, Y А имеем (здесь - это определить матрицы X).

2.4. а) А – множество квадратных чисел и для любых x, y А имеем -четное число.

б) А – множество треугольников и для любых x, y А имеем (здесь S(x) - это площадь треугольника x).

2.5. а) А – множество квадратных матриц одного порядка и для любых X, Y А имеем .

б) А – множество квадратов и для любых x, y А имеем (здесь P(x) - периметр квадрата x).

2.6. а) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем - рациональное число.

б) А – множество положительных действительных чисел и для любых x, y А .

2.7. а) А – множество натуральных чисел и для любых x, y А имеем .

б) А – множество треугольников и для любых x, y А имеем (здесь P(x) - пример треугольника х).

2.8. а) А – множество целых чисел и для любых x, y А имеем x y x и y дают одинаковые остатки при делении на 5.

б) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем .

2.9. а) А – множество натуральных чисел и для любых x, y А имеем - четное число.

б) А – множество квадратов и для любых x, y А имеем (здесь S(x) - это площадь квадрата x).

2.10. а) А- множество квадратных матриц одного порядка и для любых X, Y А имеем (здесь rang(X) - это ранг матрицы X).

б) А – множество действительных чисел и для любых x, y А имеем .

Задание №3.

На множестве с помощью булевой матрицы задать бинарное отношение , которое одновременно обладает следующими свойствами.

3.1. рефлексивно, симметрично и транзитивно.

3.2. антирефлексивно, симметрично и транзитивно.

3.3. рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

3.4. антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

3.5. не рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

3.6. рефлексивно, симметрично и не транзитивно.

3.7. антирефлексивно, симметрично и не транзитивно.

3.8. рефлексивно, антисимметрично и не транзитивно.

3.9. антирефлексивно, антисимметрично и не транзитивно.

3.10. не рефлексивно, симметрично и не транзитивно.