4. Решение волнового уравнения методом разделения переменных (методом Фурье)

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (2.26)

удовлетворяющее граничным условиям

, , (2.27), (2.28)

и начальным условиям

, . (2.29),(2.30)

Частное решение уравнения (2.26), удовлетворяющее граничным условиям (2.27) и (2.28), ищут в виде произведения двух функций:

.

Подставляя функцию в уравнение (2.26) и преобразовывая его, получим:

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от , а в правой – функция, не зависящая от . Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от , ни от , т.е. равны постоянному числу. Обозначим

, где . (2.31)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

, (2.32)

. (2.33)

Общее решение этих уравнений

, (2.34)

, (2.35)

где , , , – произвольные постоянные.

Постоянные и подбирают так, чтобы выполнялись условия (2.27) и (2.28), из которых следует, что , так как (в противном случае ). Подставляя значения и в равенство (2.34), на основании (2.27) и (2.28) получаем , . Откуда находим:

и .

Так как (иначе, было бы и , что противоречит условию), то должно выполняться равенство: , ,

, (2.36)

откуда,

. (2.37)

Найденные значения называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции называются собственными функциями. Вид собственных значений и собственных функций зависит от вида граничных условий задачи (см. Приложение №1).

Заметим, что, если в равенстве (2.31) вместо взять число , то уравнение (2.32) будет иметь решение в виде:

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (2.27) и (2.28).

Полученное значение подставляем в уравнение (2.35), получим:

, . (2.38)

Для каждого значения , а, следовательно, для каждого значения получаем решение уравнения (2.26):

. (2.39)

Так как исходное уравнение (2.26) линейное и однородное, то сумма решений также является решением уравнения, и потому функция:

(2.40)

будет решением дифференциального уравнения (2.26), удовлетворяющим граничным условиям (2.27) и (2.28).

Найденное частное решение (2.40) должно еще удовлетворять начальным условиям (2.29) и (2.30). Из условия (2.29), подставляя в (2.40) значение получим

. (2.41)

Далее, дифференцируя члены ряда (2.40) по переменной , согласно (2.30) будем иметь

. (2.42)

Правые части равенств (2.41) и (2.42) есть ряды Фурье для функций и , разложенных по синусам на интервале . Поэтому

, (2.43)

. (2.44)

В зависимости от вида функций начальных и граничных условий могут получаться различные виды разложений заданных функций в ряд Фурье (см. Приложение №2).

Итак, ряд (2.40), для которого коэффициенты и определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (2.26), удовлетворяющее граничным и начальным условиям (2.27 – 2.30).

Пример. Найти решение уравнения:

, , =2, (2.45)

удовлетворяющее краевым условиям:

, (2.46)

, (2.47)

и начальным условиям:

, (2.48)

. (2.49)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решение уравнения (2.45), удовлетворяющее граничным условиям (2.46) и (2.47), в виде произведения двух функций и , из которых первая зависит только от , а вторая только от :

. (2.50)

Общие решения для функций и будут:

, (2.51)

, (2.52)

где , , , – произвольные постоянные.

Подберем постоянные и так, чтобы удовлетворялись условия (2.46) и (2.47). Так как (в противном случае будет , что противоречит поставленному условию), то функция должна удовлетворять условиям (2.46) и (2.47), т.е. должно быть , . Подставляя значение в равенство (2.51), на основании (2.46) получаем . Из этого уравнения находим .

Для проверки условия (2.47) найдем производную функции и подставим туда значение :

,

.

Из последнего уравнения следует . , т.к. в противном случае было бы и , что противоречит условию, , т.к. уравнение теряет смысл (все обращается в нуль). Следовательно, должно быть , откуда , ( =0,1,…). Получили:

, ( =0,1,…). (2.53)

Итак, мы получили:

. (2.54)

Зная , пользуясь равенством (2.52), можем записать:

, ( =0,1,…).

Подставим в последнее уравнение, упростим и получим:

. (2.55)

Для каждого значения , следовательно для каждого , выражения (2.54) и (2.55) подставляем в равенство (2.50) и получаем решение уравнения (2.45), удовлетворяющее граничным условиям (2.46) и (2.47). Это решение обозначим :

.

Так как уравнение (2.45) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом:

(2.56)

также будет решением дифференциального уравнения (2.45), которое будет удовлетворять граничным условиям (2.46) и (2.47).

Решение (2.56) должно еще удовлетворять начальным условиям (2.48) и (2.49). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных и . Подставляя в равенство (2.56) (см. условие (2.48)), получим

:

. (2.57)

Из последнего равенства получим:

. (2.58)

Преобразуем подынтегральное выражение:

Найдем постоянную :

Далее, дифференцируем члены равенства (2.56) по и подставляем :

.

Из условия (2.49) получается равенство:

. (2.59)

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

или

. (2.60)

Так как , получаем, что коэффициент .

Итак, получили частное решение в виде:

, (2.61)

которое является решением уравнения (2.45) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (2.46) – (2.49).