2.2. Физическая интерпретация формулы Даламбера

Функция , определяемая формулой (2.14), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент ; фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке в момент , движется со скоростью в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция будет определяться формулой , и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль , перемещающийся вправо (в положительном направлении оси ) со скоростью (распространяющуюся или бегущую волну). Функция представляет собой волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси ) со скоростью . Таким образом, общее решение (2.14) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью , а вторая – налево с той же скоростью. При этом,

, ,

где

.

Решение (2.14) можно представить в виде суммы , где , (2.15)

. (2.16)

Если начальная скорость равна нулю ( ), то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью. Рассмотрим эти две ситуации графически.

1. Начальное отклонение заданно в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка . На рис. 2.5 даны последовательные положения струны через промежутки времени .

Рис. 2.5. Распространение колебаний на неограниченной прямой при изменении начального отклонения точек

2. Начальное отклонение 0, а начальная скорость отлична от нуля только на отрезке , где она принимает постоянное значение : при , при и . В этом случае решением является функция . Вычислим функцию , выбрав при этом (рис. 2.6):

(2.17)

Рис. 2.6. Форма изменения начальной скорости точек струны

Решение есть разность правой и левой волн с профилем . Последовательные положения этих волн через промежутки времени изображены на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Распространение колебаний на неограниченной прямой при изменении начальной скорости точек

Профиль струны для имеет форму трапеции, расширяющейся равномерно с течением времени. Если отлично от постоянной на , то измениться лишь профиль .

Пример. Решить уравнение:

(2.18)

при заданных начальных условиях:

, . (2.19)

Воспользуемся формулой Даламбера (2.14). Получим:

. (2.20)

3. Полуограниченная прямая и метод продолжений

Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной прямой 0. Эта задача имеет большое значение при изучении процессов отражения волн от конца и ставится следующим образом:

найти решение уравнения колебаний

при , , (2.21)

удовлетворяющее граничному условию

(или ), ( ) (2.22)

и начальным условиям

( ). (2.23)

Рассмотрим случай однородного граничного условия:

(или ),

т.е. задачу о распространении начального возмущения на струне с закрепленным (или свободным концом) концом .

Отметим следующие две леммы, о свойствах решений уравнений колебаний, определенных для бесконечной прямой.

1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой (задача (2.8) – (2.9)) являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке равно нулю.

2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой (задача (2.8) – (2.9)) являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по в этой точке равна нулю.

Доказательство леммы 1. Примем за начало координат, . В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде:

; .

Функция , определяемая формулой (2.14), при и равна:

,

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Доказательство леммы 2. Условия четности начальных данных имеют вид:

; .

Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной:

.

Из формулы (2.14) при следует:

,

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности .

Приведенное выше доказательство фактически опирается на формулу Даламбера и не связано с двукратной дифференцируемостью функции . Тем самым доказано, что лемма 1 верна для любых функций, представимых формулой Даламбера, а лемма 2 – для функций того же вида с дифференцируемой функцией , т.е. для обобщенных решений задачи (2.8) – (2.9).

Рассмотрим струну с закрепленным концом , что описывается граничным условием вида: .

Рассмотрим функции и , являющиеся нечетным продолжением и , входящих в условие (2.23):

Функция:

определена для все и . В силу леммы 1: .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

.

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Возвращаясь к прежним функциям, можно написать:

(2.24)

В области влияние граничных условий не сказывается, и выражение для совпадает с решением (2.14) для бесконечной прямой.

Аналогично, если при 0 мы имеем свободный конец струны. Подобная ситуация описывается граничным условием вида: .

Возьмем четное продолжение функций и :

получим решение уравнения колебаний:

или

(2.25)

удовлетворяющие в области 0 начальным условиям (2.23) и граничному условию .

Сформулируем полученные результаты в виде двух следующих правил.

1. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетно.

2. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую четно.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть начальные данные на полуограниченной прямой, закрепленной при 0, отличны от нуля только в интервале , 0 , в котором начальное отклонение, даваемое функцией , изображается равнобедренным треугольником, а 0. Решение этой задачи будет получено, если начальные данные нечетно продолжить на бесконечную прямую. Процесс распространения волн изображен на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Распространение колебаний на полуограниченной прямой при изменении начального отклонения точек

Вначале процесс происходит также, как и на неограниченной прямой. Заданное отклонение разбивается на две волны, движущиеся в разные стороны с постоянной скоростью, причем это продолжается до тех пор, пока полуволна, идущая налево, не дойдет до точки 0 (рис. 2.8). В этот момент с левой стороны ( 0), на которой происходили аналогичные процессы, к точке 0 подходит полуволна с «обратной фазой». В последующие моменты происходит отражение полуволны от закрепленного конца (рис. 2.8). Профиль отражающейся волны укорачивается, отклонения исчезают, затем отклонения появляются с обратным знаком и, наконец, отраженная полуволна пойдет вправо за ушедшей туда полуволной с той же скоростью. Таким образом, при отражении волны от закрепленного конца струны, ее отклонение меняет знак.

Пример 2. Пусть на полуограниченной прямой , закрепленной при , начальное отклонение всюду равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля только в интервале ( ), причем здесь . Продолжим нечетно начальные данные. От каждого интервала и распространяются отклонения, подобные отклонениям, изображенным на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Распространение колебаний на полуограниченной прямой при изменении начальной скорости точек

Как видно из рис. 2.9, в начальной стадии в области процесс происходит также, как и на бесконечной прямой. Затем происходит отражение от закрепленного конца и, наконец, волна с профилем в виде равнобедренной трапеции с постоянной скоростью движется вправо.

Изучение отражения от свободного конца проводится аналогично, только начальные данные нужно продолжать четно, так что отраженные волны от свободного конца будет происходить не с измененной фазой, а с той же фазой.

Мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями. В общем случае неоднородных граничных условий решение представляется в виде суммы, каждое слагаемое которой удовлетворяет только одному из поставленных условий (либо граничному, либо начальному).