1.2. Постановка начальных и краевых условий

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний. Удобнее всего считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием:

, (2.2)

а начальная скорость:

, (2.3)

где и – заданные функции.

Записанные начальные условия аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения материальной точки нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны – в начале координат, а конец в точке ), функция будет подчиняться условиям:

, . (2.4)

Сформулируем окончательную математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами:

(2.5)

при начальных условиях

, (2.6)

и краевых условиях

, . (2.7)

Функции и определены на интервале и, как следует из первого начального условия и краевых условий, .

2. Колебания бесконечной струны

2.1. Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, необходимо решить однородное уравнение:

(2.8)

при начальных условиях

, , (2.9)

где функции и заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик:

распадается на два уравнения:

и ,

интегралами которых служат прямые:

, .

Введем новые переменные , и запишем волновое уравнение для переменных и .

Вычисляя производные

, ,

,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет:

. (2.10)

Интегрируя полученное равенство по при фиксированном , придем к равенству . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим:

, (2.11)

где и являются функциями только переменных и соответственно. Следовательно, переходя к переменным и , получим общее решение уравнения (2.8):

. (2.12)

Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные условия (2.9):

.

,

.

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где и – произвольные постоянные. Из системы уравнений:

находим

(2.13)

Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (2.8) найденные значения и , получим:

или

. (2.14)

Найденное решение (2.14) уравнения (2.8) с начальными условиями (2.9) называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.