4. Основные типы уравнений математической физики
К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
Волновое уравнение:
. (1.21)
Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.
Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:
. (1.22)
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.
Уравнение Лапласа:
, (1.23)
или в операторной форме:
, (1.24)
где
– оператор Лапласа.
Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.
Уравнение Пуассона:
в общем случае в векторной форме уравнение имеет вид:
, (1.25)
где
– искомая функция;
,
– некоторые функции независимых
переменных.
Данное уравнение может быть записано в частных производных, если учесть, что по определению градиент некоторого скалярного поля определяется выражением:
, (1.26)
где
,
,
– единичные вектора (орты) в направлениях
соответствующих координатных осей, а
дивергенция некоторого векторного поля
– выражением:
, (1.27)
где
,
,
– проекции вектора
на соответствующие оси координат.
Таким образом, получим:
, (1.28)
или в операторной форме:
, (1.29)
где
– оператор Наббла.
Из полученных выражений видно, что уравнение Пуассона является обобщенным уравнением Лапласа для случая отличной от нуля правой части.
5. Граничные и начальные условия
Из курса высшей математики известно, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Это связано с появлением в процессе интегрирования констант, при любых значениях которых решение удовлетворяет исходному уравнению.
Решение задач математической физики связано с нахождением зависимостей от координат и времени определенных физических величин, которые, безусловно, должны удовлетворять требованиям однозначности (физическая величина не может иметь двух или более различных значений в данной точке пространства и в данный момент времени), конечности (физическая величина не может иметь бесконечных по модулю значений) и непрерывности. Иными словами, любая задача математической физики предполагает поиск единственного решения (если оно вообще существует). Поэтому математическая формулировка физической задачи должна помимо основных уравнений (дифференциальных уравнений в частных производных), описывающих искомые функции внутри рассматриваемой области, включать дополнительные уравнения (дифференциальные или алгебраические), описывающие искомые функции на границах рассматриваемой области в любой момент времени. Эти дополнительные уравнения называют соответственно граничными и начальными условиями задачи.
Итак, при решении задач физики математическими методами необходимо, прежде всего, дать математическую постановку задачи, а именно:
1) написать уравнение (или систему уравнений), которому удовлетворяет искомая функция (или система функций), описывающая исследуемое явление;
2) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области ее определения.