2. Приведение уравнений к каноническому виду

Рассмотрим уравнение второго порядка

, (1.10)

где , , – функции и .

Уравнение

или

называется каноническим уравнением гиперболического типа; уравнение

– каноническим уравнением параболического типа; уравнение

– каноническим уравнением эллиптического вида.

Дифференциальное уравнение:

(1.11)

называется уравнением характеристик.

При решении задач можно воспользоваться представлением уравнения (1.11) в виде системы двух уравнений:

(1.12)

Для приведения дифференциального уравнения к каноническому виду необходимо записать уравнение характеристик и найти его общие решения.

Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: ; , т.е. существует два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных , дифференциальное уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл .

В этом случае нужно произвести замену переменных , , где – любая функция, удовлетворяющая условию или (например, или ). После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид , где и – действительные функции. С помощью подстановки , уравнение приводится к каноническому виду.

Пример. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

. (1.12)

Определяем коэффициенты при старших производных в уравнении (1.12): , , . Определяем дискриминант уравнения:

. (1.13)

Т.е. уравнение (1.12) относится к уравнениям эллиптического типа.

Для (1.12) составляем уравнение характеристик:

(1.14)

и находим его корни:

,

. (1.15)

В результате решение дифференциального уравнения (1.14) получили два комплексно сопряженных корня вида (1.15). Производим замену переменных:

(1.16)

На следующем этапе выражаем все производные уравнения (1.12) через новые переменные и для чего необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции нескольких переменных:

Здесь производные от функций и по переменным и вычисляются исходя из равенств (1.16).

На последнем этапе решения задачи подставляем полученные значения частных производных в исходное уравнение (1.12), учитывая соответствующие коэффициенты:

.

После преобразования последнего равенства получаем ответ:

(1.17)

Для упрощения вычислений при решении подобных задач целесообразно пользоваться формулами для выражения частных производных через новые переменные, полученные в общем виде:

При использовании этих уравнений частные производные функций и по переменным и вычисляются путем подстановки в данные выражения значений и , полученных при решении соответствующего уравнения характеристик. Частные производные функции по переменным и не вычисляются.

3. Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решения

Если в уравнении (1.9) правая часть равна нулю, то уравнение называется однородным. Оно имеет вид:

. (1.18)

Вообще в теории дифференциальных уравнений уравнение называется однородным, если функция, тождественно равная нулю ( ), является его решением. Решения линейных однородных уравнений вида (1.18) обладают следующими свойствами:

1. если есть решение линейного однородного уравнения (1.18), то , где – любая постоянная, есть также решение уравнения (1.18);

2. если и – решение линейного однородного уравнения (1.18), то сумма есть также решение этого уравнения;

3. если каждая из функций является решением уравнения (1.18), то и их линейная комбинация:

, (1.19)

где – произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

Для доказательства достаточно заметить, что если и есть линейная комбинация частных решений: , то любая производная функции будет такой же линейной комбинацией соответствующих производных функций :

; .

Разумеется, также будут выглядеть и производные второго порядка. Если подставить выражения для производных функций в левую часть уравнения (1.18) и перегруппировать слагаемые, то получим:

.

Поскольку по условию функции являются решениями уравнения (1.18), то каждая из скобок обратится в нуль, а вместе с ними и вся левая часть уравнения. Это и означает, что функция является его решением.

Уравнение в частных производных может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений, т.е. такое множество решений, любое конечное число которых являются функциями линейно независимыми.

Система функций , называется линейно независимой, если ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных.

В соответствии с этим будем иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами, членами которых служат произведения произвольных постоянных на частные решения:

. (1.20)