6. Пример решения уравнения Пуассона методом Фурье

Найти решение уравнения:

, , (4.66)

при граничных условиях:

, (4.67)

, , (4.68)

где a) ; b) ; c) .

Решение I.

Будем искать нетривиальные решения вида задачи , , , . При этом придем к задаче Штурма-Лиувилля (см. Приложение №1): , , .

Собственные значения и собственные функции, которой будут:

, , , . (4.69)

Аналогично, если мы будем искать нетривиальные решения вида задачи , , , , то мы придем к задаче Штурма-Лиувилля (см. Приложение №1): , , .

Собственные значения и собственные функции этой задачи будут:

, , . (4.70)

Так как в случае а) , то мы будем искать решение в виде . Тогда условия (4.67), (4.68) будут выполнены автоматически. Подставляя в (4.66), найдем .

Итак, в случае а) получаем:

. (4.71)

В случае b) , где не является собственной функцией нужной задачи Штурма-Лиувилля, поэтому решение следует искать в виде:

, (4.72)

для чего заданную функцию следует также разложить в ряд Фурье по собственным числам и найти коэффициент разложения :

. (4.73)

. (4.74)

В случае с) мы будем искать решение в виде двойного ряда Фурье:

. (4.75)

Для этого разложим правую часть – функцию – также в двойной ряд Фурье:

. (4.76)

С учетом разложения в ряд Фурье, получим:

Подставляя (4.75), (4.76) в (4.66), найдем:

Поэтому в случае с) решением задачи будет:

(4.77)

Решение II.

Поскольку в случае b) , где – собственная функция нужной задачи Штурма-Лиувилля, то мы будем искать решение в виде с неизвестной функцией . Условие (4.67) будет выполнено автоматически, а (4.66) и (4.68) дадут дифференциальное уравнение для :

(4.78)

и граничные условия для него:

, . (4.79)

Общее решение уравнения (4.78) имеет вид:

, (4.80)

находя из граничных условий (4.79) , , получим окончательно, что

(4.81)

будет решением задачи в случае b).

В случае с) решение следует искать в виде:

, (4.82)

где – собственные функции нужной задачи Штурма-Лиувилля, а – неизвестные функции.

Для этого представим правую часть в аналогичном виде:

. (4.83)

С учетом разложения в ряд Фурье получим:

Подставляя уравнения (4.82), (4.83) в задачу (4.66), (4.68) мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

(4.84)

и граничные условия для него:

, . (4.85)

Условие (4.67) автоматически выполняется.

Решая граничную задачу (4.84), (4.85), находим, что:

Поэтому решение задачи в случае с) есть:

.(4.86)

Можно было бы искать решение в виде (4.82), но с – собственными функциями нужной задачи Штурма-Лиувилля и неизвестными функциями .

Список использованной литературы

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник. 7-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 798 с.

2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 416 с.

3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. – М.: МЦНМО, 2001.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит 2003.

5. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2001.

6. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 544 с.

7. Треногин В.А. Методы математической физики. – М.: РХД 2002.

8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Физматлит, 2003.

9. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.

10. Шарма Дж., Сингх К. Уравнения в частных производных для инженеров. – М.: Техносфера, 2002.

11. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 368 с.

Приложение №1

Простейшие задачи Штурма – Лиувилля

№	Задача	Собственные значения	Собственные функции
1	,	,
2а	,	,
2б	,
3	,	,	,
4	, или ,	,	, ,

Приложение №2

Общий вид ряда Фурье по собственным функциям

№	Вид разложения	Коэффициенты
1	Синус-ряд Фурье
2а
2б
3	Косинус-ряд Фурье	,
4	Полный ряд Фурье	, ,

Свойства ряда Фурье по собственным функциям

1. - периодична, нечетна;

2а. - периодична, нечетна, ;

2б. - периодична, четна, .

3. - периодична, четна;

4. - периодична.

68